Matematyka.pl

Jakie jest \(\displaystyle{ f}\) jeśli

\(\displaystyle{ f(xf(x) + 2y) = f(x^2) + f(y) + x + y − 1}\)

gdy \(\displaystyle{ x, y \in \RR}\) ?

A czemu ?

Tak na skróty:

\(\displaystyle{ x=0,y=0 \Rightarrow f(0)=1}\)

\(\displaystyle{ x=0 \Rightarrow f(2y)=f(y)+y}\)

czyli:

\(\displaystyle{ f(2^x)=a+2^x-1}\)

co sugeruje, że postać funkcji:

\(\displaystyle{ f(x)=x+b}\)

Po podstawieniu wychodzi:

\(\displaystyle{ b=1}\)

arek1357 pisze: ↑1 maja 2023, o 18:40 Tak na skróty:

\(\displaystyle{ x=0,y=0 \Rightarrow f(0)=1}\)

\(\displaystyle{ x=0 \Rightarrow f(2y)=f(y)+y}\)

Możesz to lepiej wyjaśnić? Bo nie wiem skąd się to pojawia.
I nie powinno być że: \(\displaystyle{ f(0)=-1}\) ?.

\(\displaystyle{ f(2y)=f(y)+y}\)

podstawmy np:

\(\displaystyle{ f(b)=c}\)

\(\displaystyle{ f(2b)=c+b}\)

\(\displaystyle{ f(4b)=f(2b)+2b=c+b+2b=c+3b}\)

\(\displaystyle{ f(8b)=f(4b)+4b=c+3b+4b=c+7b}\)

Z tego wnioskujemy indukcyjnie, że:

\(\displaystyle{ f(2^nb)=c+(2^n-1)b}\)

Podstawając:

\(\displaystyle{ 2^nb=x}\)

Otrzymamy postać funkcji:

\(\displaystyle{ f(x)=x+s}\)

postawianie:

\(\displaystyle{ f\left[ xf(x)+2y\right] =f(x^2)+f(y)+x+y-1}\)

\(\displaystyle{ f\left[ x(x+s)+2y\right] =x^2+s+y+s+x+y-1}\)

\(\displaystyle{ x^2+sx+2y+s=x^2+2y+x+2s-1}\)

\(\displaystyle{ sx-x=s-1}\)

\(\displaystyle{ x(s-1)=s-1}\)

i spełnia dla każdego x:

\(\displaystyle{ s=1}\)

czyli:

\(\displaystyle{ f(x)=x+1}\)

cnd...

arek1357 pisze: ↑1 maja 2023, o 18:40 Tak na skróty:

\(\displaystyle{ x=0,y=0 \Rightarrow f(0)=1}\)

\(\displaystyle{ x=0 \Rightarrow f(2y)=f(y)+y}\)

Dobrze ale skąd w ogóle ten lemat?

A tam od razu lemat...

Z podstawienia do wzoru

mol_ksiazkowy pisze: ↑29 kwie 2023, o 10:57 \(\displaystyle{ f(xf(x) + 2y) = f(x^2) + f(y) + x + y − 1}\)

JK

Dokładnie po podstawieniu za \(\displaystyle{ x=0 , y=0}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ f(0)=-1}\), a za \(\displaystyle{ x=0}\) \(\displaystyle{ f(2y)=f(y)+y-1}\). Coś jest źle?

Konio34 pisze: ↑1 maja 2023, o 22:29 Dokładnie po podstawieniu za \(\displaystyle{ x=0 , y=0}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ f(0)=-1}\), a za \(\displaystyle{ x=0}\) \(\displaystyle{ f(2y)=f(y)+y-1}\). Coś jest źle?

Tak.

Po podstawieniu \(\displaystyle{ x=0 , y=0}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ f(0)=2f(0)-1}\), czyli \(\displaystyle{ f(0)=1}\). Wykorzystując tę informację po podstawieniu \(\displaystyle{ x=0}\) dostajemy \(\displaystyle{ f(2y)=f(0)+f(y)+y-1=1+f(y)+y-1=f(y)+y.}\)

JK

A dlaczego przyjmujesz że \(\displaystyle{ f(0)=1}\)?

Konio34 pisze: ↑1 maja 2023, o 23:06 A dlaczego przyjmujesz że \(\displaystyle{ f(0)=1}\)?

Bo to policzyłem, podstawiając \(\displaystyle{ x=y=0.}\)

JK

A możesz napisać jak to będzie wyglądać z tym podstawieniem? Bo dalej wychodzi mi to co ja zaproponowałem.

Masz wzór

\(\displaystyle{ f(xf(x) + 2y) = f(x^2) + f(y) + x + y − 1.}\)

Jak podstawisz \(\displaystyle{ x=y=0}\), to dostajesz

\(\displaystyle{ f(0\cdot f(0) + 2\cdot 0) = f(0^2) + f(0) + 0 + 0 − 1,}\)

czyli

\(\displaystyle{ f(0)=2f(0)-1}\), czyli \(\displaystyle{ f(0)=1}\).

JK