Matematyka.pl

Podać przykład funkcji przekształcającej zbiór liczb naturalnych na zbiór:
a) liczb całkowitych
b) liczb wymiernych

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania do a):
\(\displaystyle{ f:\NN \rightarrow \ZZ}\) i \(\displaystyle{ f(n)= \begin{cases} \frac{n+1}{2} \text{ gdy n nieparzyste} \\ - \frac{n}{2} \text{ gdy n parzyste} \end{cases} }\)

Czy tak jest dobrze?

A jak zrobić to b) ?

max123321 pisze: ↑8 sie 2023, o 16:19 Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania do a):
\(\displaystyle{ f:\NN \rightarrow \ZZ}\) i \(\displaystyle{ f(n)= \begin{cases} \frac{n+1}{2} \text{ gdy n nieparzyste} \\ - \frac{n}{2} \text{ gdy n parzyste} \end{cases} }\)

Czy tak jest dobrze?

Dobrze.

JK

Ok, dzięki, a jak zrobić to b) ? Jest chyba jakaś metoda z rysowaniem takiego szlaczka, ale nie wiem jak to zapisać w Latexu.

Wskazówka:

Rozważ funkcję:

\(\displaystyle{ f:\NN \times \NN \rightarrow \NN}\),

daną jako:

\(\displaystyle{ f\left( \left( x,y\right) \right)= \frac{\left( x+y\right) \left( x+y+1\right) }{2}+x,}\)

i wykaż, że jest ona bijekcją.

Wtedy będziesz miał wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość między parami liczb naturalnych a zbiorem liczb naturalnych. Wystarczy zatem wyrzucić powtarzające się ułamki (które to ułamki reprezentują ilorazy pierwszej współrzędnej takich par przez ich drugą współrzędną, różną od zera), i będziesz miał wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość między zbiorem liczb naturalnych a zbiorem liczb wymiernych nieujemnych, a więc również między liczbami wymiernymi dodatnimi (bez zera), nazwijmy ją \(\displaystyle{ g}\). A liczby wymierne ujemne są symetryczne, więc w analogiczny sposób będziesz miał również odpowiedniość między zbiorem liczb naturalnych, a zbiorem liczb wymiernych ujemnych, nazwijmy ją \(\displaystyle{ h}\). To teraz wystarczy ustawić zbiór liczb wymiernych w ciąg:

\(\displaystyle{ 0, g_0, h_0, g_1, h_1, g_2, h_2,\ldots}\)

i otrzymać bijekcję między zbiorem liczb naturalnych a zbiorem liczb wymiernych.\(\displaystyle{ \square}\)

Świetna wskazówka, ale jeśli maxowi chodziło o wzór, to umiarkowanie przydatna. Poza tym w pytaniu nie chodziło o bijekcję, tylko o surjekcję, więc niepotrzebnie skomplikowałeś.

JK