Matematyka.pl

Dla jakich \(\displaystyle{ f}\): \(\displaystyle{ f^{\prime}(x)= f(x+1)}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR. }\)

Tu jest ten problem nieźle rozwinięty:

rownania-rozniczkowe-i-calkowe-f161/zna ... 52614.html

Poniżej przyjmuję, że \(\displaystyle{ \mathbb{N} = \{ 0, 1, 2, \ldots \}}\).

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) rodzinę wszystkich funkcji gładkich \(\displaystyle{ f : [0, 1] \to \mathbb{R}}\), takich że \(\displaystyle{ f^{(n)}(1) = f^{(n+1)}(0)}\) dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\). Dla \(\displaystyle{ f \in \mathcal{F}}\) definiujemy funkcję \(\displaystyle{ \hat{f} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) w sposób następujący:

- na \(\displaystyle{ [0, 1]}\) jako \(\displaystyle{ f}\);

- na \(\displaystyle{ [n, n+1]}\) wzorem \(\displaystyle{ \hat{f}(x) = f^{(n)}(x-n)}\);

- rekurencyjnie na \(\displaystyle{ [-n-1, -n]}\) jako jedyną funkcję pierwotną \(\displaystyle{ \hat{f}(x+1)}\) przyjmującą w \(\displaystyle{ x = -n}\) uprzednio zdefiniowaną wartość.

Nietrudno wykazać, że tak skonstruowana funkcja spełnia równanie. Co więcej, zbiorem wszystkich rozwiązań równania jest \(\displaystyle{ \{ \hat{f} : f \in \mathcal{F} \}}\).

przybliżony przykład takiej funkcji:

\(\displaystyle{ f(x)=e^{0,31x} \cos (1,34x)}\)

a tu link do przybliżonego wykresu: