Matematyka.pl

Cześć. Mamy takie twierdzenie: Jeśli funkcje \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) są różnowartościowe, to \(\displaystyle{ (g \circ f)^{-1}}\) = \(\displaystyle{ f^{-1} \circ g^{-1}}\). Nie chodzi mi teraz o cały dowód tego twierdzenia, a jedynie o sprawdzenie, że \(\displaystyle{ D_{(g \circ f)^{-1}}=D_{f^{-1} \circ g^{-1}}}\), gdzie \(\displaystyle{ D_{f}}\) oznacza dziedzinę funkcji \(\displaystyle{ f}\).
Moja propozycja jest następująca: Niech \(\displaystyle{ t \in D_{f^{-1} \circ g^{-1}}}\). Oznacza to, że \(\displaystyle{ t \in D_{g^{-1}}}\) i \(\displaystyle{ g^{-1}(t) \in D_{f^{-1}} }\). Czyli \(\displaystyle{ D_{f^{-1} \circ g^{-1}}=\{t: t \in D_{g^{-1}} \wedge g^{-1}(t) \in D_{f^{-1}} \}}\).
Mam problem z dalszą częścią. Załóżmy, że \(\displaystyle{ s \in D_{(g \circ f)^{-1}}}\). To by oznaczało, że \(\displaystyle{ s \in D_{g^{-1}}}\). I co dalej?

Jeśli \(\displaystyle{ s \in D_{(g \circ f)^{-1}}}\), to \(\displaystyle{ s = g(f(x))}\) dla pewnego \(\displaystyle{ x \in D_{f \circ g}}\). Wtedy \(\displaystyle{ s \in D_{g^{-1}}}\) i \(\displaystyle{ g^{-1}(s) = f(x) \in D_{f^{-1}}}\), co dowodzi zawierania \(\displaystyle{ D_{(g \circ f)^{-1}} \subseteq D_{f^{-1} \circ g^{-1}}}\).