Wszelkiego rodzaju zadania nie dotyczące funkcji w działach powyżej lub wiążace więcej niż jeden typ funkcji. Ogólne własności. Równania funkcyjne.
41421356
Użytkownik
Posty: 541 Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36Płeć: MężczyznaLokalizacja: LublinPodziękował: 497 razy Pomógł: 5 razy
Post
autor: 41421356 12 paź 2023, o 23:57
Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są liczbami dodatnimi to zachodzi:\(\displaystyle{ 3\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\right)\geq 8\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)-10}\)
janusz47
Użytkownik
Posty: 7918 Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24Płeć: MężczyznaPodziękował: 30 razy Pomógł: 1671 razy
Post
autor: janusz47 13 paź 2023, o 11:13
Jeśli przekształcimy tę nierówność do nierówności kwadratowej, to otrzymamy dwie różne nierówności na \(\displaystyle{ a, b. }\)
Jan Kraszewski
Administrator
Posty: 34296 Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54Płeć: MężczyznaLokalizacja: WrocławPodziękował: 3 razy Pomógł: 5203 razy
Post
autor: Jan Kraszewski 13 paź 2023, o 14:12
Ale po co dwie? Lepiej przekształcić to wyrażenie i zrobić podstawienie \(\displaystyle{ t=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}.}\) Wtedy jest jedna nierówność i wiemy, że \(\displaystyle{ t\ge 2.}\)
janusz47
Użytkownik
Posty: 7918 Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24Płeć: MężczyznaPodziękował: 30 razy Pomógł: 1671 razy
Post
autor: janusz47 13 paź 2023, o 14:26
Wtedy\(\displaystyle{ (a-b)^2 \geq 0 }\) - PRAWDA\(\displaystyle{ 0 < \frac{a^2+b^2}{ab} \leq \frac{2}{3} }\)
41421356
Użytkownik
Posty: 541 Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36Płeć: MężczyznaLokalizacja: LublinPodziękował: 497 razy Pomógł: 5 razy
Post
autor: 41421356 15 paź 2023, o 11:05
A jak to wykazać bez używania funkcji kwadratowej?
a4karo
Użytkownik
Posty: 22211 Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55Płeć: MężczyznaLokalizacja: BydgoszczPodziękował: 38 razy Pomógł: 3755 razy
Post
autor: a4karo 15 paź 2023, o 11:24
janusz47 pisze: ↑ 13 paź 2023, o 14:26
Wtedy
\(\displaystyle{ (a-b)^2 \geq 0 }\) - PRAWDA
Druga nierówność:
\(\displaystyle{ 0 < \frac{a^2+b^2}{ab} \leq \frac{2}{3} }\)
Tyle że ta druga nierówność nigdy nie jest prawdziwa
janusz47
Użytkownik
Posty: 7918 Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24Płeć: MężczyznaPodziękował: 30 razy Pomógł: 1671 razy
Post
autor: janusz47 15 paź 2023, o 15:15
A kto powiedział, że jest prawdziwa?
a4karo
Użytkownik
Posty: 22211 Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55Płeć: MężczyznaLokalizacja: BydgoszczPodziękował: 38 razy Pomógł: 3755 razy
Post
autor: a4karo 15 paź 2023, o 16:44
janusz47 pisze: ↑ 15 paź 2023, o 15:15
A kto powiedział, że jest prawdziwa?
No toś rozwiązał zadanie. I'm full of podziff
