Matematyka.pl

Witam, próbuję zbadać monotoniczność funkcji
\(\displaystyle{ f(x)=(x+4)\cdot e^{\frac{1}{x+4}}}\)

pochodna z tej funkcji wychodzi mi
\(\displaystyle{ f'(x)=e^{\frac{1}{x+4}}\cdot\frac{x+3}{x+4}}\)

więc teraz żeby narysować funkcję i zaznaczyć gdzie funkcja rośnie/maleje przyrównuję \(\displaystyle{ f'(x)=0}\)

i w tym momencie mam problem, czy mogę podzielić tą funkcję przez \(\displaystyle{ e^{\frac{1}{x+4}}}\)?
Gdy tak robię i rysuję następnie funkcje to wychodzi mi że funkcja jest malejąca w przedziałach \(\displaystyle{ (- \infty,-4) \cup (-4,-3)}\) rosnąca w \(\displaystyle{ (-3, \infty )}\)
Ale gdy patrzę jak wygląda wykres funkcji \(\displaystyle{ f'(x)=e^{\frac{1}{x+4}}\cdot\frac{x+3}{x+4}}\) w kalkulatorze online to wychodzi funkcja malejąca w przedziale \(\displaystyle{ (-4,-3)}\) rosnąca w \(\displaystyle{ (- \infty,-4) \cup (-3, \infty)}\)

Przypuszczam że nie mogę podzielić przez \(\displaystyle{ e^{\frac{1}{x+4}}}\)? Czy może muszę zrobić to jakimś innym sposobem niż rysowanie funkcji?

Przecież ewidentnie ta funkcja zmienia znak w `x=4`

Ale dlaczego?

Bo \(\displaystyle{ e^{\frac{1}{x+4}}>0}\), a w okolicach \(\displaystyle{ x=-4}\) masz \(\displaystyle{ x+3<0}\), zaś wyrażenie \(\displaystyle{ x+4}\) zmienia znak z minusa na plus. Wobec tego całą pochodna zmienia znak z plusa na minus.

Muszyn pisze: ↑9 gru 2023, o 11:03 Ale gdy patrzę jak wygląda wykres funkcji \(\displaystyle{ f'(x)=e^{\frac{1}{x+4}}\cdot\frac{x+3}{x+4}}\) w kalkulatorze online to wychodzi funkcja malejąca w przedziale \(\displaystyle{ (-4,-3)}\) rosnąca w \(\displaystyle{ (- \infty,-4) \cup (-3, \infty)}\)

Typowy błąd. Ta funkcja nie jest rosnąca w \(\displaystyle{ (- \infty,-4) \cup (-3, \infty)}\), tylko w \(\displaystyle{ (- \infty,-4)}\) oraz w \(\displaystyle{ (-3, \infty)}\).

JK