Matematyka.pl

1. Wyznaczyć \(\displaystyle{ f: \RR \to \RR}\) takie, że \(\displaystyle{ f(x+y)+ f(xy) = f(x)+ f(y)+ f(xy+1)}\) dla \(\displaystyle{ x, y \in \RR}\)

2. Udowodnić, że jesli \(\displaystyle{ f(x-1)+f(x+1)= \sqrt{3}f(x)}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\) to \(\displaystyle{ f}\) jest okresowa.

3. Dla jakich \(\displaystyle{ f : \RR \to \RR}\) jest \(\displaystyle{ f(x- y)= f(x)+ xy + f(y)}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR , y \in f(\RR)}\) ?

4. Dla jakich \(\displaystyle{ f : \ZZ \to \ZZ}\) jest \(\displaystyle{ f(x)+ f(y)= f(x+2xy)+ f(y-2xy)}\) dla \(\displaystyle{ x, y \in \ZZ}\) oraz \(\displaystyle{ f(1)= f(-1)}\) ?

5. Wyznaczyć \(\displaystyle{ f}\) takie, że \(\displaystyle{ f( f(x)+y) = 2x+ f( f(y)-x )}\) dla \(\displaystyle{ x, y \in \RR}\).

6. Wyznaczyć \(\displaystyle{ f: \RR_{+ } \to \RR_{+ }}\) różniczkowalne i takie, że \(\displaystyle{ f' \left( \frac{1}{x} \right) = \frac{x}{f \left( x \right) }}\) dla \(\displaystyle{ x >0}\).

7. Niech \(\displaystyle{ f: \ZZ \to \{ -1, 1 \}}\) oraz \(\displaystyle{ f(ab)= f(a)f(b)}\) dla \(\displaystyle{ a, b \in \ZZ}\). Udowodnić, że istnieje \(\displaystyle{ 1 \leq a < 13}\) takie, że \(\displaystyle{ f(a) = f(a+1) = 1}\).

Q.

co z 6 ?

6 jest proste:

\(\displaystyle{ f'\left( \frac{1}{x} \right)= \frac{x}{f(x)} }\)

podstawka:

\(\displaystyle{ \frac{1}{x} =t}\)

\(\displaystyle{ f\left( \frac{1}{t} \right) = \frac{1}{tf'(t)} }\)

Po zróżniczkowaniu obustronnym mamy:

\(\displaystyle{ - \frac{1}{t^2} f'\left( \frac{1}{t} \right)=- \frac{f'(t)+tf''(t)}{t^2f'^{2}(t)} }\)

Redukcja i warunek zadania dają nam:

\(\displaystyle{ f'\left( \frac{1}{t} \right) =\frac{f'(t)+tf''(t)}{f'^{2}(t)} = \frac{t}{f(t)} }\)

\(\displaystyle{ f(t)=y}\)

Co daje nam przyzwoite równanie różniczkowe:

\(\displaystyle{ yy'+tyy''=ty'^2}\)

lub:

\(\displaystyle{ \frac{y}{y'} +t \frac{y}{y'} \cdot \frac{y''}{y'}=t }\)

podstawienie:

\(\displaystyle{ \frac{y}{y'} =z}\)

Załatwia sprawę, nie będę się za bardzo znęcał, wychodzi:

\(\displaystyle{ y^C=C_{1}t}\)

biorąc pod uwagę, że:

\(\displaystyle{ t= \frac{1}{x} }\)

otrzymamy:

\(\displaystyle{ f(x)=ax^b, a>0}\)

Po podstawieniu wychodzi

\(\displaystyle{ f(x)=ax^{ \frac{1}{a^2} } , a>0 }\)

Oczywiście funkcja ta spełnia wyjściowe równanie...