Matematyka.pl

Rozwiązać równanie funkcyjne:

\(\displaystyle{ f(x+y) = \max \{f(x), y \} + \min \{ f(y), x \},}\)

gdy \(\displaystyle{ x, y \in \RR.}\)

Niewątpliwie funkcja identyczności:

\(\displaystyle{ f=I_{\RR}:\RR \rightarrow \RR}\),

spełnia to zadanie, gdyż dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ x,y \in \RR,}\) mamy:

\(\displaystyle{ f\left( x+y\right) = x+y= \max \left( f\left( x\right)=x, y \right) + \min\left( f(y)=y ,x\right) = \max \left(x,y\right) + \min \left( y,x\right) = x+y.}\)

Spróbuję uzasadnić, że nie ma innych takich funkcji (spróbuję zacząć):

Dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ x \in \RR}\), oraz dla tej samej liczby \(\displaystyle{ y=x}\), mamy:

\(\displaystyle{ f\left( 2x\right) = \max \left( f(x), x\right)+ \min \left( f(x), x\right) = f(x)+x;}\)

skąd otrzymujemy:

\(\displaystyle{ f\left( x\right)= f\left( 2x\right)-x;}\)

i podejrzewam, że tylko funkcja identyczności \(\displaystyle{ I _{\RR}: \RR \rightarrow \RR}\), to spełnia, ale nie wiem jak to udowodnić.

Ktoś może pomóc

a \(\displaystyle{ f(x)=x+1 }\)

No nie, gdyż dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ x \in \RR}\) (np. dla \(\displaystyle{ x=0}\)), oraz dla \(\displaystyle{ y=x+1}\), mamy:
\(\displaystyle{ \max\left( x+1,y\right) = \max\left( x+1, x+1\right) = x+1}\), i
\(\displaystyle{ \min\left( y+1,x\right) = \min \left( x+2, x\right)= x}\);
lecz:
\(\displaystyle{ f\left( x+y\right) = f\left( 2x+1\right) = 2x+2 \neq \left( x+1\right) +x= \max\left( x+1,y\right) + \min \left( y+1,x\right) .}\)

A jak napiszę:

\(\displaystyle{ \min\left\{ x,f(y)\right\} = \frac{x+f(y)-|x-f(y)|}{2} }\)

\(\displaystyle{ \max\left\{ y,f(x)\right\} = \frac{x+f(y)+|y-f(x)|}{2} }\)

To może to ci ułatwi zadanie...

Podstawiając i upraszczając otrzymamy równanie:

\(\displaystyle{ f(x)-|f(x)|=x+a-|x-a| , a=f(0)}\)

arek1357 pisze: ↑24 lis 2023, o 18:23 \(\displaystyle{ \max\left\{ y,f(x)\right\} = \frac{\red{x+f(y)}+|y-f(x)|}{2} }\)

A nie miałeś na myśli
\(\displaystyle{ \max\left\{ y,f(x)\right\} = \frac{y+f(x)+|y-f(x)|}{2} }\) ?

JK

Oj tak dokładnie


Ale myślę że teraz Jakub sobie poradzi bez względu na ten chohlik...

Tym bardziej, że końcówka już jest poprawna...