Kwadrat z f
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11473
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3157 razy
- Pomógł: 748 razy
Kwadrat z f
Czy jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją określoną na zbiorze liczb naturalnych \(\displaystyle{ \NN}\) i o wartościach w tym zbiorze i \(\displaystyle{ n+f(m)}\) dzieli \(\displaystyle{ f(n)+ nf(m)}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ n, m}\) to\(\displaystyle{ f(n)=n^2}\) dla \(\displaystyle{ n=1, 2, 3,...}\)
Ostatnio zmieniony 11 kwie 2024, o 22:16 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5750
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Kwadrat z f
Jeżeli zapiszemy warunek zadania w ten sposób to otrzymamy:
(*) \(\displaystyle{ f(n)+nf(m)=kn+kf(m)}\)
przyjmijmy:
\(\displaystyle{ n=m}\)
otrzymamy:
(**) \(\displaystyle{ f(n)+nf(n)=kn+kf(n)}\)
lub:
\(\displaystyle{ f(n)= \frac{kn}{n+1-k} }\)
Jak widać podzielność ta zachodzi dla:
\(\displaystyle{ k=1}\)
wtedy:
\(\displaystyle{ f(n)=1}\)
funkcja spełnia równanie wyjściowe,(*)
może być też:
\(\displaystyle{ k=n}\)
wtedy:
\(\displaystyle{ f(n)=n^2}\) - funkcja spełnia (*)
ale może być też:
\(\displaystyle{ k=n-1}\)
więc:
\(\displaystyle{ f(n)= \frac{n(n-1)}{2} }\)
co ciekawe funkcja ta nie spełnia (*) ale spełnia (**)
I wchodzi w zero...
(*) \(\displaystyle{ f(n)+nf(m)=kn+kf(m)}\)
przyjmijmy:
\(\displaystyle{ n=m}\)
otrzymamy:
(**) \(\displaystyle{ f(n)+nf(n)=kn+kf(n)}\)
lub:
\(\displaystyle{ f(n)= \frac{kn}{n+1-k} }\)
Jak widać podzielność ta zachodzi dla:
\(\displaystyle{ k=1}\)
wtedy:
\(\displaystyle{ f(n)=1}\)
funkcja spełnia równanie wyjściowe,(*)
może być też:
\(\displaystyle{ k=n}\)
wtedy:
\(\displaystyle{ f(n)=n^2}\) - funkcja spełnia (*)
ale może być też:
\(\displaystyle{ k=n-1}\)
więc:
\(\displaystyle{ f(n)= \frac{n(n-1)}{2} }\)
co ciekawe funkcja ta nie spełnia (*) ale spełnia (**)
I wchodzi w zero...
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11473
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3157 razy
- Pomógł: 748 razy
Re: Kwadrat z f
Dla danego \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ k}\) jest wyznaczona niejednoznacznie, np. \(\displaystyle{ n=9}\); \(\displaystyle{ k \in \{ 1, 4, 5, 7 , 8, 9 \}}\)...itd.\(\displaystyle{ f(n)= \frac{kn}{n+1-k} }\)