Jakie f ?
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11464
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3157 razy
- Pomógł: 748 razy
Jakie f ?
Rozwiázać równanie funkcyjne (wyznaczyć \(\displaystyle{ f }\)): \(\displaystyle{ f(2f(x) + f(y)) = 2x + f(y)}\) dla \(\displaystyle{ x,y \in \RR.}\)
Ostatnio zmieniony 3 sie 2023, o 19:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 1413
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Jakie f ?
Łatwo jest sprawdzić, że identyczność: \(\displaystyle{ I_\RR:\RR \rightarrow \RR}\) spełnia warunki zadania.
Spróbuje uzasadnić, że nie ma innych funkcji spełniających warunki zadania:
Jeśli dla takiej funkcji, mamy: \(\displaystyle{ f(0)=0}\), to biorąc \(\displaystyle{ y=0}\), otrzymujemy:
\(\displaystyle{ f\left( 2f(x)\right) = 2x}\), i podejrzewam, że tylko identyczność to spełnia (może ktoś uzasadnić to lepiej , nie znam się na funkcjach na zbiorze liczb rzeczywistych).
Jeśli \(\displaystyle{ f(0) \neq 0}\), to dla \(\displaystyle{ x=0}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ f\left( 2f\left( 0\right)+ f(y) \right) =f(y)}\), skąd:
\(\displaystyle{ f(y)= f( f(y)+ \underbrace {a}_{ a:=2 \cdot f(0) \neq 0} ),}\)
i podejrzewam, że tylko identyczność może ten warunek spełniać, a nawet i ona nie, bo \(\displaystyle{ I_{\RR}(0)= 0 \neq f(0).\square}\)
Może ktoś uzasadnić to lepiej?? (Nie jestem specjalistą we funkcjach na zbiorze liczb rzeczywistych, wolę funkcję na zbiorze liczb naturalnych i całkowitych), może ktoś uzupełnić te dwie luki w dowodzie
Spróbuje uzasadnić, że nie ma innych funkcji spełniających warunki zadania:
Jeśli dla takiej funkcji, mamy: \(\displaystyle{ f(0)=0}\), to biorąc \(\displaystyle{ y=0}\), otrzymujemy:
\(\displaystyle{ f\left( 2f(x)\right) = 2x}\), i podejrzewam, że tylko identyczność to spełnia (może ktoś uzasadnić to lepiej , nie znam się na funkcjach na zbiorze liczb rzeczywistych).
Jeśli \(\displaystyle{ f(0) \neq 0}\), to dla \(\displaystyle{ x=0}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ f\left( 2f\left( 0\right)+ f(y) \right) =f(y)}\), skąd:
\(\displaystyle{ f(y)= f( f(y)+ \underbrace {a}_{ a:=2 \cdot f(0) \neq 0} ),}\)
i podejrzewam, że tylko identyczność może ten warunek spełniać, a nawet i ona nie, bo \(\displaystyle{ I_{\RR}(0)= 0 \neq f(0).\square}\)
Może ktoś uzasadnić to lepiej?? (Nie jestem specjalistą we funkcjach na zbiorze liczb rzeczywistych, wolę funkcję na zbiorze liczb naturalnych i całkowitych), może ktoś uzupełnić te dwie luki w dowodzie
-
- Użytkownik
- Posty: 22233
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3759 razy
Re: Jakie f ?
Funkcji spełniających ten warunek jest tyle wszystkich funkcji rzeczywistychJakub Gurak pisze: ↑9 sie 2023, o 17:40 Łatwo jest sprawdzić, że identyczność: \(\displaystyle{ I_\RR:\RR \rightarrow \RR}\) spełnia warunki zadania.
Spróbuje uzasadnić, że nie ma innych funkcji spełniających warunki zadania:
Jeśli dla takiej funkcji, mamy: \(\displaystyle{ f(0)=0}\), to biorąc \(\displaystyle{ y=0}\), otrzymujemy:
\(\displaystyle{ f\left( 2f(x)\right) = 2x}\), i podejrzewam, że tylko identyczność to spełnia (może ktoś uzasadnić to lepiej , nie znam się na funkcjach na zbiorze liczb rzeczywistych).
To nie luki. To ogromne dziury. I to nie żadne dowody tylko gdybanie.
Jeśli \(\displaystyle{ f(0) \neq 0}\), to dla \(\displaystyle{ x=0}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ f\left( 2f\left( 0\right)+ f(y) \right) =f(y)}\), skąd:
\(\displaystyle{ f(y)= f( f(y)+ \underbrace {a}_{ a:=2 \cdot f(0) \neq 0} ),}\)
i podejrzewam, że tylko identyczność może ten warunek spełniać, a nawet i ona nie, bo \(\displaystyle{ I_{\RR}(0)= 0 \neq f(0).\square}\)
Może ktoś uzasadnić to lepiej?? (Nie jestem specjalistą we funkcjach na zbiorze liczb rzeczywistych, wolę funkcję na zbiorze liczb naturalnych i całkowitych), może ktoś uzupełnić te dwie luki w dowodzie
-
- Użytkownik
- Posty: 1413
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 83 razy
- Anulus Smaragdinus
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 12 lut 2024, o 23:14
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 27
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 1 raz
Re: Jakie f ?
Skorzystam w mym rozwiązaniu z dobrze znanego faktu, iż jeśli złożenie \(h \circ g\) jest różnowartościowe, to samo odwzorowanie \(g\) także musi być różnowartościowe.
Oznaczmy formułę
Mamy
Następnie
Bezpośrednie sprawdzenie pokazuje, iż istotnie jest to rozwiązanie.
Swoją drogą, czy wiadomo, skąd pochodzi ten problemat? Wygląda jak z jakiejś dość prostej olimpiady matematycznej. Bardzo lubię rozwiązywać równania funkcyjne (zamieszczam nawet wiele swych rozwiązań na YT), a każde nowe źródło może mi być pomocne.
Oznaczmy formułę
\(\displaystyle{ P(x, y): \quad f\bigl(2f(x) + f(y)\bigr) = 2x + f(y).}\)
Mamy
\(\displaystyle{ P(x, 0) : \quad f\bigl(2f(x) + f(0)\bigr) = 2x + f(0).}\)
Po prawej stronie stoi niestała funkcja afiniczna, będąca oczywiście różnowartościową. Po lewej stronie mamy zaś złożenie dwu funkcyj, z więc ta wewnętrzna, to jest \(x \mapsto 2f(x) + f(0)\), musi być różnowartościowa. Widać więc już, iż sama funkcja \(f\) też musi być różnowartościowa.Następnie
\(\displaystyle{ P(0, y) : \quad f\bigl(2f(0) + f(y)\bigr) = f(y),}\)
co dzięki ustalonej różnowartościowości funkcji \(f\) daje
\(\displaystyle{ 2f(0) + f(y) = y,}\)
czyli
\(\displaystyle{ f(y) = y - 2f(0).}\)
Wstawienie \(y = 0\) pokazuje, iż musi \(f(0) = 0\), a więc\(\displaystyle{ f = \mathrm{id}_{\mathbf{R}}.}\)
Bezpośrednie sprawdzenie pokazuje, iż istotnie jest to rozwiązanie.
Swoją drogą, czy wiadomo, skąd pochodzi ten problemat? Wygląda jak z jakiejś dość prostej olimpiady matematycznej. Bardzo lubię rozwiązywać równania funkcyjne (zamieszczam nawet wiele swych rozwiązań na YT), a każde nowe źródło może mi być pomocne.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11464
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3157 razy
- Pomógł: 748 razy
Re: Jakie f ?
prawdopodobnie z Functional Equations in Mathematical Competitions: Problems and Solutions by Mohammad Mahdi Taheri...czy wiadomo, skąd pochodzi ten problemat?
- Anulus Smaragdinus
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 12 lut 2024, o 23:14
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 27
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 1 raz
Re: Jakie f ?
O, dobrze wiedzieć. Dziękuję wielce!
Ostatnio zmieniony 14 lut 2024, o 06:43 przez admin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Usunięto cytowany tekst. Nie cytujemy całej treści postu, jeśli odpowiadamy bezpośrednio pod tym postem!
Powód: Usunięto cytowany tekst. Nie cytujemy całej treści postu, jeśli odpowiadamy bezpośrednio pod tym postem!