Matematyka.pl

Rozwiázać równanie funkcyjne (wyznaczyć \(\displaystyle{ f }\)): \(\displaystyle{ f(2f(x) + f(y)) = 2x + f(y)}\) dla \(\displaystyle{ x,y \in \RR.}\)

Łatwo jest sprawdzić, że identyczność: \(\displaystyle{ I_\RR:\RR \rightarrow \RR}\) spełnia warunki zadania.
Spróbuje uzasadnić, że nie ma innych funkcji spełniających warunki zadania:

Jeśli dla takiej funkcji, mamy: \(\displaystyle{ f(0)=0}\), to biorąc \(\displaystyle{ y=0}\), otrzymujemy:
\(\displaystyle{ f\left( 2f(x)\right) = 2x}\), i podejrzewam, że tylko identyczność to spełnia (może ktoś uzasadnić to lepiej , nie znam się na funkcjach na zbiorze liczb rzeczywistych).

Jeśli \(\displaystyle{ f(0) \neq 0}\), to dla \(\displaystyle{ x=0}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ f\left( 2f\left( 0\right)+ f(y) \right) =f(y)}\), skąd:
\(\displaystyle{ f(y)= f( f(y)+ \underbrace {a}_{ a:=2 \cdot f(0) \neq 0} ),}\)
i podejrzewam, że tylko identyczność może ten warunek spełniać, a nawet i ona nie, bo \(\displaystyle{ I_{\RR}(0)= 0 \neq f(0).\square}\)

Może ktoś uzasadnić to lepiej?? (Nie jestem specjalistą we funkcjach na zbiorze liczb rzeczywistych, wolę funkcję na zbiorze liczb naturalnych i całkowitych), może ktoś uzupełnić te dwie luki w dowodzie

Jakub Gurak pisze: ↑9 sie 2023, o 17:40 Łatwo jest sprawdzić, że identyczność: \(\displaystyle{ I_\RR:\RR \rightarrow \RR}\) spełnia warunki zadania.
Spróbuje uzasadnić, że nie ma innych funkcji spełniających warunki zadania:

Jeśli dla takiej funkcji, mamy: \(\displaystyle{ f(0)=0}\), to biorąc \(\displaystyle{ y=0}\), otrzymujemy:
\(\displaystyle{ f\left( 2f(x)\right) = 2x}\), i podejrzewam, że tylko identyczność to spełnia (może ktoś uzasadnić to lepiej , nie znam się na funkcjach na zbiorze liczb rzeczywistych).

Funkcji spełniających ten warunek jest tyle wszystkich funkcji rzeczywistych

Jeśli \(\displaystyle{ f(0) \neq 0}\), to dla \(\displaystyle{ x=0}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ f\left( 2f\left( 0\right)+ f(y) \right) =f(y)}\), skąd:
\(\displaystyle{ f(y)= f( f(y)+ \underbrace {a}_{ a:=2 \cdot f(0) \neq 0} ),}\)
i podejrzewam, że tylko identyczność może ten warunek spełniać, a nawet i ona nie, bo \(\displaystyle{ I_{\RR}(0)= 0 \neq f(0).\square}\)

Może ktoś uzasadnić to lepiej?? (Nie jestem specjalistą we funkcjach na zbiorze liczb rzeczywistych, wolę funkcję na zbiorze liczb naturalnych i całkowitych), może ktoś uzupełnić te dwie luki w dowodzie

To nie luki. To ogromne dziury. I to nie żadne dowody tylko gdybanie.

To jak to udowodnić??

Skorzystam w mym rozwiązaniu z dobrze znanego faktu, iż jeśli złożenie \(h \circ g\) jest różnowartościowe, to samo odwzorowanie \(g\) także musi być różnowartościowe.

Oznaczmy formułę


Mamy Po prawej stronie stoi niestała funkcja afiniczna, będąca oczywiście różnowartościową. Po lewej stronie mamy zaś złożenie dwu funkcyj, z więc ta wewnętrzna, to jest \(x \mapsto 2f(x) + f(0)\), musi być różnowartościowa. Widać więc już, iż sama funkcja \(f\) też musi być różnowartościowa.

Następnie co dzięki ustalonej różnowartościowości funkcji \(f\) daje czyli Wstawienie \(y = 0\) pokazuje, iż musi \(f(0) = 0\), a więc


Bezpośrednie sprawdzenie pokazuje, iż istotnie jest to rozwiązanie.

Swoją drogą, czy wiadomo, skąd pochodzi ten problemat? Wygląda jak z jakiejś dość prostej olimpiady matematycznej. Bardzo lubię rozwiązywać równania funkcyjne (zamieszczam nawet wiele swych rozwiązań na YT), a każde nowe źródło może mi być pomocne.

czy wiadomo, skąd pochodzi ten problemat?

prawdopodobnie z Functional Equations in Mathematical Competitions: Problems and Solutions by Mohammad Mahdi Taheri...

O, dobrze wiedzieć. Dziękuję wielce!