Jaka f ???

Wszelkiego rodzaju zadania nie dotyczące funkcji w działach powyżej lub wiążace więcej niż jeden typ funkcji. Ogólne własności. Równania funkcyjne.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11269
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3144 razy
Pomógł: 747 razy

Jaka f ???

Post autor: mol_ksiazkowy »

Wyznaczyć \(\displaystyle{ f}\) takie, że

1) \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją
2) \(\displaystyle{ f}\) jest rosnąca
3) \(\displaystyle{ f(f (x)) = f(x)+ 12x}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR.}\)
Ostatnio zmieniony 26 gru 2022, o 23:08 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Pan Profesor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 26 gru 2022, o 19:10
Płeć: Mężczyzna
wiek: 12

Re: Jaka f ???

Post autor: Pan Profesor »

Rozważmy najpierw, jakie warunki musi spełniać surjekcja \(\displaystyle{ f}\), żeby spełniać warunek 3) \(\displaystyle{ f(f(x))=f(x)+12x}\) dla \(\displaystyle{ x\in\RR}\).

Wyrażenie \(\displaystyle{ f(f(x))=f(x)+12x}\) oznacza, że \(\displaystyle{ f(y)=y+12x}\) dla \(\displaystyle{ y=f(x)}\). Funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją, więc dla każdego \(\displaystyle{ y\in\RR}\) istnieje co najmniej jeden \(\displaystyle{ x\in\RR}\) taki, że \(\displaystyle{ y=f(x)}\). Oznacza to, że dla każdego \(\displaystyle{ y\in\RR}\) istnieje \(\displaystyle{ x\in\RR}\) taki, że \(\displaystyle{ y=f(x)=x+12x}\). Oznacza to, że \(\displaystyle{ y=13x}\) dla każdego \(\displaystyle{ y\in\RR}\).

Funkcja \(\displaystyle{ f(x)=13x}\) spełnia warunek 1), ponieważ każdemu \(\displaystyle{ y\in\RR}\) odpowiada dokładnie jeden \(\displaystyle{ x\in\RR}\). Funkcja \(\displaystyle{ f(x)=13x}\) spełnia również warunek 2), ponieważ jest rosnąca.

Ostatecznie, \(\displaystyle{ f(x)=13x}\) jest surjekcją spełniającą warunki 1), 2) i 3).
Ostatnio zmieniony 26 gru 2022, o 23:07 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Jaka f ???

Post autor: Janusz Tracz »

\(\displaystyle{ f(x)=13x}\) nie działa. Ale \(\displaystyle{ f(x)=4x}\) jest ok.

PS poza tym aby sprawdzić suriektywność trzeba mieć przeciwdziedzinę. A tu jej nie ma. Na co ma być ta funkcja?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34134
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5193 razy

Re: Jaka f ???

Post autor: Jan Kraszewski »

Pan Profesor pisze: 26 gru 2022, o 19:49Oznacza to, że dla każdego \(\displaystyle{ y\in\RR}\) istnieje \(\displaystyle{ x\in\RR}\) taki, że \(\displaystyle{ y=f(x)=x+12x}\).
Nieprawda.

JK
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11269
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3144 razy
Pomógł: 747 razy

Re: Jaka f ???

Post autor: mol_ksiazkowy »

aby sprawdzić suriektywność trzeba mieć przeciwdziedzinę. A tu jej nie ma. Na co ma być ta funkcja?
\(\displaystyle{ f: \RR \to \RR}\)

Dodano po 6 dniach 3 godzinach 43 minutach 30 sekundach:
\(\displaystyle{ f(x)=4x }\)
A czy są inne ?
Ostatnio zmieniony 27 gru 2022, o 08:31 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
ODPOWIEDZ