Matematyka.pl

Z czego wynika fakt, że jedynymi funkcjami parzystymi i nieparzystymi jednocześnie są funkcje stale równe zero? Z jakiej własności/twierdzenia?

Z prostej obserwacji to wynika. Funkcja parzysta i nieparzysta jednocześnie, spełnia dwa równania


zatem \(\displaystyle{ f(x)=-f(x)}\) zatem \(\displaystyle{ 2f(x)=0}\) czyli \(\displaystyle{ f(x)=0}\). Równość zachodzi dla każdego \(\displaystyle{ x}\) stąd \(\displaystyle{ f}\) jest stale równa zero.

PS być może ta uwaga wykracza poza ramy tego pytania ale wydaje mi się, że warto tu powiedzieć, że to nie jest do końca tak, że jedyną funkcją parzystą i nieparzysta jest... dokładnie to takich funkcji jest dużo. Pewnie tyle co symetrycznych względem zera podzbiorów prostej. Po prostu jeśli funkcja jest parzysta i nieparzysta na dowolnym symetrycznym podzbiorze prostej to jest zerowa. A na innych podzbiorach pojęcia parzystości i nieparzystości nie ma sensu. Ta uwaga ma sens jedynie z formalnego punktu widzenia. Intuicyjnie nie ma to większego znaczenia. Jeśli więc masz z góry daną symetryczną dziedzinę to faktycznie na niej jest tylko jedna taka funkcja. A jeśli dziedzina nie jest dana to takich funkcji jest dużo tylko i tak każda zerowa.

Dziękuję, tak, rozumiem, czy można jednak oprócz tego odwołać się do konkretnego twierdzenia z rachunku różniczkowego? Czy np. własność Darboux?

Nie widzę jak miała by tu zadziałać własność Darboux. Ja kojarzę tę własność w takim sformowaniu:

Jeśli funkcja ciągła przyjmuje w pewnym przedziale dwie różne wartości, to przyjmuje w tym przedziale również wszystkie wartości pośrednie.

i praktycznie nic na pierwszy rzut oka nie pasuje:

• nie wiadomo na samym początku czy funkcja której szukamy jest ciągła. Więc zanim się w ogóle powołamy na własność Darboux to trzeba pokazać ciągłosć,

• jest mowa o przedziałach. W dziedzinie naszej funkcji nie musi być w ogólne przedziałów (nie liczę singletonów),

• jak już są przedziały i jakimś cudem mamy ciągłość to musimy policzyć i tak wartości w dwóch punktach w tym przedziale. I te wartości powinny wyjść różne. Ale oczywiście nie wyjdą różne bo nie mogą,

• a gdyby tego było mało to niby dlaczego pomiędzy zerami miało by być zero.

Inne twierdzenia rachunku różniczkowego też raczej są tu mało przydatne. Chyba, że zrobimy jakieś założenia na \(\displaystyle{ f}\) (albo przynajmniej pokażemy coś dodatkowego o \(\displaystyle{ f}\)). Zwykle twierdzenia rachunku różniczkowego wymagają aby dziedzina była ładna (spójna, zwarta itp.) lub aby funkcja była ładna (ciągłą, różniczkowalna, itp.) lub jedno i drugie. Tu brakuje tego i tego w pewnym sensie.

Janusz Tracz pisze: ↑15 gru 2022, o 22:17 Nie widzę jak miała by tu zadziałać własność Darboux. Ja kojarzę tę własność w takim sformowaniu:

Jeśli funkcja ciągła przyjmuje w pewnym przedziale dwie różne wartości, to przyjmuje w tym przedziale również wszystkie wartości pośrednie.

To nie jest własność Darboux, tylko twierdzenie mówiące, że każda funkcja ciągła ma własność Darboux.

malwinka1058 pisze: ↑15 gru 2022, o 21:58czy można jednak oprócz tego odwołać się do konkretnego twierdzenia z rachunku różniczkowego?

Ale po co?!

JK