Matematyka.pl

Pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ f_n(x) = x^n}\) jest sumą \(\displaystyle{ n+1}\) okresowych funkcji \(\displaystyle{ \mathbb R \to \mathbb R}\) (oraz że nie jest sumą \(\displaystyle{ n}\) takich funkcji).

część II indukcyjnie: nie wprost: Jeśli \(\displaystyle{ x^n = \sum_{j=1}^{n} f_j(x)}\) , \(\displaystyle{ f_j }\) jest okresowa o okresie \(\displaystyle{ s_j}\), to \(\displaystyle{ (x+s_n)^n - x^{n} = \sum_{j=1}^{n-1} ( f_j(x+s_n) - f_j(x) )}\), (ostatni składnik znika) i po lewej stronie jest wielomian stopnia \(\displaystyle{ n-1}\): sprzeczność z założeniem indukcyjnym.
\(\displaystyle{ n=1}\) to oczywisty przypadek

Już dość trudno poszukać dla funkcji:

\(\displaystyle{ f(x)=x}\)

sumy dwóch funkcji okresowych ale wydaje się, że może być to możliwe stosując bazy Hamela czyli stąpanie po kruchym lodzie, funkcje będą np.
okresowe wzdłuż jakiejś współrzędnej a ich suma może wtedy wynieść \(\displaystyle{ x}\) bo każdą liczbę można zapisać jako kombinację w bazie Hamela, gorzej trochę z samą konstrukcja ale można się pobawić...

Bardzo fajne zadanie. Poniżej rozwiązanie nieco może górnolotnym językiem, ale myślę, że trafnie identyfikującym istotę problemu.

Niech \(\displaystyle{ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) będzie dowolną funkcją. Dla \(\displaystyle{ t \in \mathbb{R}}\) określamy \(\displaystyle{ \Delta_t f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) wzorem \(\displaystyle{ (\Delta_t f)(x) = f(x) - f(x-t)}\). Zachodzą różne naturalne własności, w tym:

- \(\displaystyle{ \Delta_t f \equiv 0}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ t}\) jest okresem \(\displaystyle{ f}\);
- \(\displaystyle{ \Delta_t \Delta_s f = \Delta_s \Delta_t f}\);
- \(\displaystyle{ \Delta_t (f+g) = \Delta_t f + \Delta_t g}\).

Będę z nich korzystać bez ostrzeżenia. :>

Funkcje dające się zapisać w postaci sumy funkcji okresowych charakteryzuje poniższe twierdzenie:

Twierdzenie. Załóżmy, że \(\displaystyle{ t_1, \ldots, t_n \in \mathbb{R}}\) są parami liniowo niezależne nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\), i niech \(\displaystyle{ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\). Wtedy \(\displaystyle{ f}\) daje się zapisać w postaci sumy \(\displaystyle{ f_1 + \ldots + f_n}\), gdzie \(\displaystyle{ f_i : \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) ma okres \(\displaystyle{ t_i}\), wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \Delta_{t_1} \ldots \Delta_{t_n} f \equiv 0}\).

Łatwo stąd wynika, że \(\displaystyle{ f(x) := x^n}\) jest sumą \(\displaystyle{ n+1}\) funkcji okresowych, bo dla dowolnych \(\displaystyle{ t_1, \ldots, t_{n+1} \in \mathbb{R}}\) mamy \(\displaystyle{ \Delta_{t_1} \ldots \Delta_{t_{n+1}} f \equiv 0}\). Szukany rozkład istnieje więc nawet przy z góry zadanych okresach, byleby były to liczby parami niewspółmierne. Taka niewspółmierność jest zresztą także warunkiem koniecznym, bo suma dwóch funkcji o współmiernych okresach nadal jest okresowa i wobec tego wystarczyłoby zsumować \(\displaystyle{ n}\) funkcji okresowych, wbrew temu co wykazał mol. W ogóle wszystkie wielomiany stopnia najwyżej \(\displaystyle{ n}\) będą sumami \(\displaystyle{ n+1}\) funkcji okresowych.


Najpierw wykażę lemat: niech \(\displaystyle{ t, s \in \mathbb{R}}\) będą niewspółmierne i niech \(\displaystyle{ g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) będzie funkcją o okresie \(\displaystyle{ s}\). Wtedy istnieje funkcja \(\displaystyle{ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) o okresie \(\displaystyle{ s}\), taka że \(\displaystyle{ g = \Delta_t f}\).

Istotnie, niech \(\displaystyle{ X \subseteq \mathbb{R}}\) będzie selektorem warstw podgrupy \(\displaystyle{ t \ZZ}\) w \(\displaystyle{ (\mathbb{R}, +)}\), takim że \(\displaystyle{ s+X = X}\). Wtedy warunki: \(\displaystyle{ f(x) = 0}\) dla \(\displaystyle{ x \in X}\) oraz \(\displaystyle{ \Delta_t f = g}\) - jednoznacznie definiują \(\displaystyle{ f}\) na całym \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\).
Pozostaje wykazać, że \(\displaystyle{ s}\) jest okresem \(\displaystyle{ f}\). Ponieważ \(\displaystyle{ s}\) jest okresem \(\displaystyle{ g}\), mamy

\(\displaystyle{ \Delta_t \Delta_s f = \Delta_s \Delta_t f = \Delta_s g = 0}\).

Zatem \(\displaystyle{ \Delta_s f}\) ma okres \(\displaystyle{ t}\). Jednocześnie \(\displaystyle{ (\Delta_s f)(x) = 0}\) dla \(\displaystyle{ x \in X}\), gdyż \(\displaystyle{ s+X = X}\). Oczywiście funkcja o okresie \(\displaystyle{ t}\) zerująca się na \(\displaystyle{ X}\) musi być zerowa, stąd \(\displaystyle{ \Delta_s f \equiv 0}\), co należało wykazać. \(\displaystyle{ \blacksquare}\)


Dowód twierdzenia: implikacja w prawo to proste rachunki z użyciem wymienionych na początku własności. Drugiej implikacji dowiedziemy przez indukcję względem \(\displaystyle{ n}\). Dla \(\displaystyle{ n = 1}\) teza jest oczywista (przy odrobinie wyobraźni można nawet zacząć od \(\displaystyle{ n = 0}\)). Ustalmy \(\displaystyle{ n \ge 1}\), załóżmy, że teza jest spełniona dla \(\displaystyle{ n}\), i ustalmy \(\displaystyle{ t_1, \ldots, t_n, t \in \mathbb{R}}\) parami niewspółmierne, oraz funkcję \(\displaystyle{ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) spełniającą

\(\displaystyle{ \Delta_{t_1} \ldots \Delta_{t_n} \Delta_t f \equiv 0}\).

Z założenia indukcyjnego możemy zapisać \(\displaystyle{ \Delta_t f = g_1 + \ldots + g_n}\), gdzie \(\displaystyle{ g_i}\) ma okres \(\displaystyle{ t_i}\). Na mocy lematu mamy \(\displaystyle{ g_i = \Delta_t f_i}\) dla pewnych \(\displaystyle{ f_i : \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\), gdzie \(\displaystyle{ f_i}\) ma okres \(\displaystyle{ t_i}\). Wtedy

\(\displaystyle{ \Delta_t \left( f - \sum_{i=1}^n f_i \right) = \Delta_t f - \sum_{i=1}^n g_i = 0}\),

czyli \(\displaystyle{ f - \sum_{i=1}^n f_i}\) ma okres \(\displaystyle{ t}\). To kończy dowód.