Matematyka.pl

Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) oraz dla pewnego \(\displaystyle{ a\neq 0}\) mamy \(\displaystyle{ (1-f(x))f(x+a)=1+f(x), x\in \mathbb{R}}\), to \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją okresową.

Poprzez przekształcanie jedyne do czego doszedłem to to, że \(\displaystyle{ \forall x \in \mathbb{R}: f(x)\not\in \{-1,1\}}\) (jeżeli \(\displaystyle{ f(x)=1}\) to z równania wychodzi \(\displaystyle{ 0=2}\), jeżeli \(\displaystyle{ f(x+a)=-1}\) to z równania wychodzi \(\displaystyle{ -2=0}\), a \(\displaystyle{ x+a \in\mathbb{R}}\)).

Jestem też w stanie wyprowadzić wzór \(\displaystyle{ f(x)}\) w zależności od \(\displaystyle{ f(x+a)}\) i odwrotnie, ale nie mam pomysłów co dalej.

Wsk. Oblicz `f(x+2a)` a potem pomyśl co z tego wynika.

emong00 pisze: ↑3 lis 2022, o 13:41 Jestem też w stanie wyprowadzić wzór \(\displaystyle{ f(x)}\) w zależności od \(\displaystyle{ f(x+a)}\) i odwrotnie, ale nie mam pomysłów co dalej.

Jak się wyznaczy wzór na \(\displaystyle{ f( \cdot )}\) w kontekście \(\displaystyle{ f( \cdot +a)}\) to widać, że ma kształt homografii, a czasem bywa tak, że homografie ze składaniem tworzą grupę generowaną. Tak tu właśnie jest. W matematycznym folklorze znane jest, że \(\displaystyle{ \left\{ \text{id} , g\right\} }\) (ze składaniem), gdzie \(\displaystyle{ g(x)=(1-x)/(1+x)}\) to grupa skończenie generowana \(\displaystyle{ \left\langle g \right\rangle }\) rzędu \(\displaystyle{ 2}\). Wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ g^2=\text{id}}\). Zatem mamy dwa fakty:

• \(\displaystyle{ f( \cdot )=g(f( \cdot +a)),}\)

• \(\displaystyle{ g^2=\text{id}.}\)

Fakt pierwszy kolokwialnie mówiąc mówi jaka jest reguła dostawiania \(\displaystyle{ g}\) przed \(\displaystyle{ f}\). Natomiast fakt drugi mówi jak się zachowuje składanie \(\displaystyle{ g}\). Wystarczy więc teraz zauważyć, że

A, że składanie funkcji jest łączne i zachodzi drugi fakt to \(\displaystyle{ f( \cdot )= f\left( \cdot +2a\right)}\). Co oznacza, że \(\displaystyle{ f}\) jest okresowa. Całe to rozumowanie zdaje się uogólniać w naturalny sposób.

Tyle że `f(x)\ne f(x+2a)`.

Bo źle \(\displaystyle{ g}\) wyznaczyłem, dzięki. Powinno być \(\displaystyle{ g(x)=\left( x-1\right)/(x+1) }\) (a nie \(\displaystyle{ (\red{1-x})/(1+x)}\) jak napisałem wcześniej) wtedy \(\displaystyle{ g^4=\text{id}}\) więc trzeba dostawić \(\displaystyle{ 4}\) razy \(\displaystyle{ g}\) przed \(\displaystyle{ f}\) (wspomniana grupa jest oczywiście trochę inna ale i tak to działa bo jest kończenie generowana przez \(\displaystyle{ g}\)). Oczywiście okres się zmiana na \(\displaystyle{ 4a}\).