Matematyka.pl

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ f( x f(y) ) = y f(x) }\) dla \(\displaystyle{ x, y \in \RR,}\) to \(\displaystyle{ f}\) jest nieparzysta.

\(\displaystyle{
f(xf(y)) = yf(x)\\
xf(y) = z\\
f(z) = yf(x)\\
f(f(z)) = f(yf(x))\\
f(f(z)) = xf(y) = z\\
f(f(z)) = z
}\)

teraz jeśli funkcja jest nieparzysta to:

\(\displaystyle{
f(-z) = -f(z)\\
f(f(z)) = z\\
f(-f(z) = -z\\
f(f(-z)) = -z
-z = -z
}\)

c.n.d.

Gouranga pisze: ↑15 lip 2022, o 02:40 \(\displaystyle{
f(xf(y)) = yf(x)\\
xf(y) = z\\
f(z) = yf(x)\\
f(f(z)) = f(yf(x))\\
f(f(z)) = xf(y) = z\\
f(f(z)) = z
}\)

teraz jeśli funkcja jest nieparzysta to:

\(\displaystyle{
\red{f(-z) = -f(z)}\\
f(f(z)) = z\\
f(-f(z) = -z\\
f(f(-z)) = -z\\
-z = -z
}\)

c.n.d.

Czy w czerwonym miejscu zakładasz tezę?

* \(\displaystyle{ f( (f(z)) =z }\), np. gdy \(\displaystyle{ f(z) = -z+1}\) to \(\displaystyle{ f }\) nie jest nieparzysta... itd.

\(\displaystyle{ f(xf(y))=yf(x) \ (*)}\).
Kładąc w \(\displaystyle{ (*) y:=xf(y), \ x:=1}\) dostajemy
\(\displaystyle{ f(yf(x))=xf(y)f(1)}\), natomiast podmieniając w \(\displaystyle{ (*)}\) miejscami iksa i igreka mamy
\(\displaystyle{ f(yf(x))=xf(y)}\), czyli
dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y\in \RR}\) jest \(\displaystyle{ xf(y)=xf(y)f(1)}\). Zatem mamy dwie możliwości: \(\displaystyle{ f\equiv 0}\) (wtedy teza jest spełniona) lub \(\displaystyle{ f(1)=1}\).
Zajmiemy się tym drugim przypadkiem.
Podstawiając w \(\displaystyle{ (*), x:=1}\) dostajemy \(\displaystyle{ f(f(y))=y \ (**)}\).
Znowuż wstawiając w \(\displaystyle{ (*) \ y:=f(y)}\) i korzystając z \(\displaystyle{ (**)}\), mamy
\(\displaystyle{ f(xy)=f(x)f(y) \ (\heartsuit)}\) i to będzie klucz do zwycięstwa.
Najpierw wstawiamy \(\displaystyle{ w (\heartsuit) \ x=y=-1}\) i dostajemy \(\displaystyle{ 1=f(1)=f^2(-1)}\), stąd \(\displaystyle{ f(-1)=1\vee f(-1)=-1}\).
Następnie podstawiamy w \(\displaystyle{ (\heartsuit) \ y=-1}\), co daje nam \(\displaystyle{ f(-x)=f(x)f(1)}\).
Pozostaje wykluczyć możliwość \(\displaystyle{ f(-1)=1}\) i dostajemy tezę. Nie wprost: gdyby \(\displaystyle{ f(-1)=1}\), to (z uwagi na \(\displaystyle{ (**)}\))
\(\displaystyle{ -1=f(f(-1))=f(1)=1}\), a to jest ewidentna sprzeczność.
Mamy więc i w tym przypadku \(\displaystyle{ f(-x)=-f(x)}\) dlakażdego \(\displaystyle{ x\in \RR}\), c.n.d.