Matematyka.pl

Udowodnić, że \(\displaystyle{ f(x)= \cos(x^3) }\) nie jest okresowa.

Niech \(\displaystyle{ T }\) będzie okresem funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \cos(x^3).}\)

Wtedy

\(\displaystyle{ \cos(x^3) - \cos[(x+T)^3] = 0 }\)


\(\displaystyle{ -2\sin \left(\frac{x^3 +(x+T)^3}{2}\right)\sin\left(\frac{x^3-(x+T)^3 }{2}\right) = 0 \ \ (*) }\)

Równość \(\displaystyle{ (*) }\) zachodzi dla \(\displaystyle{ T = 0. }\)

\(\displaystyle{ \Box }\)

Dodatnie jedynki (czyli miejsca, gdzie `f` przyjmuje wartość `1`) tworzą ciąg \(\displaystyle{ x_k=\sqrt[3]{2k\pi}}\). Niech `T` będzie dowolną liczbą dodatnią. W przedziale `[0,T]` jest tylko skończenie wiele jedynek.
Łatwo widać, że `x_{k+1}-x_k\to 0`, zatem przedziałach `[nT,(n+1)T]` ilość jedynek będzie dążyła do nieskończoności. To pokazuje, że `T` nie może być okresem.

gdyby \(f\) była okresowa, to jej pochodna też by była okresowa

tymczasem \(f'(x)=-3x^2\sin(x^3)\), jest to nieograniczona funkcja ciągła, więc nie może być okresowa