Matematyka.pl

Dla jakich \(\displaystyle{ a \in \RR}\) istnieje funkcja \(\displaystyle{ f}\) określona na zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich i o wartościach w tym zbiorze, dla której

\(\displaystyle{ f( f(x)+ \frac{1}{f(x)} ) = x+a}\)

gdy \(\displaystyle{ x>0}\) ?

Podstawienie:

\(\displaystyle{ x:=f(x)+ \frac{1}{f(x)} }\)

mamy więc:

\(\displaystyle{ f\left( f\left( f\left( x\right)+ \frac{1}{f\left( x\right) } \right)+ \frac{1}{f\left( f\left( x\right)+ \frac{1}{f\left( x\right) } \right)} \right)=f\left( x\right)+ \frac{1}{f\left( x\right) }+a }\)

po uproszczeniu:

\(\displaystyle{ f\left( x+a+ \frac{1}{x+a} \right)=f\left( x\right)+ \frac{1}{f\left( x\right) } +a }\)

Teraz ułóżmy równanie:

\(\displaystyle{ x+a+ \frac{1}{x+a} =x}\)

Po rozwiązaniu otrzymamy:

\(\displaystyle{ x=-a- \frac{1}{a} }\)

z warunków zadania mamy:

\(\displaystyle{ x>0}\)

czyli:

\(\displaystyle{ -a- \frac{1}{a}>0 }\)

lub:

\(\displaystyle{ \frac{a^2+1}{a}<0 }\)

Wniosek:

\(\displaystyle{ a<0}\)

cnd...

arek1357 pisze: ↑19 lis 2022, o 10:37 po uproszczeniu:

\(\displaystyle{ f\left( x+a+ \frac{1}{x+a} \right)=f\left( x\right)+ \frac{1}{f\left( x\right) } +a }\)

Teraz ułóżmy równanie:

\(\displaystyle{ x+a+ \frac{1}{x+a} =x}\)

Skąd to równanie?

W sumie mogłem coś takiego ułożyć, bez większych powodów...

Po prostu nie rozumiem dlaczego parametr funkcji przyrównywany jest do x.

Dodano po 16 minutach 43 sekundach:
Proszę o wyjaśnienie, może to jest oczywiste, ale z jakiegoś powodu niestety tego nie rozumiem.

Równie dobrze mógłbym przyrównać do 2x zrobiłem to uwierz mi bez powodu taka radosna twórczość...

wojciechfil20 pisze: ↑28 gru 2022, o 20:31 Po prostu nie rozumiem dlaczego parametr funkcji przyrównywany jest do x.

Dodano po 16 minutach 43 sekundach:
Proszę o wyjaśnienie, może to jest oczywiste, ale z jakiegoś powodu niestety tego nie rozumiem.

Nie przejmuj się. arek1357 tak ma, że czasem produkuje taki bełkot.

Jest dość oczywiste, że jego "rozwiązanie" jest bez sensu: gdyby dla pewnego `a<0` istniała taka funkcja `f`, to dla `0<x<-a` prawa strona równania byłaby ujemna, a lewa dodatnia.

No dobrze ta funkcja się nadmuchuje jak balonik:

\(\displaystyle{ f\left( f(x)+ \frac{1}{f(x)} \right) =x+a}\)

podstawmy teraz:

\(\displaystyle{ x=f(x)+ \frac{1}{f(x)} }\)

mamy:

(*) \(\displaystyle{ f\left( x+a+ \frac{1}{x+a} \right) =f(x)+ \frac{1}{f(x)}+a }\)

Teraz podstawmy:

\(\displaystyle{ x+a+ \frac{1}{x+a}=t}\)

mamy teraz:

\(\displaystyle{ x= \frac{t-2a+ \sqrt{t^2+4t} }{2} }\)

po podstawieniu do (*) otrzymamy:

\(\displaystyle{ f(t)=f\left( \frac{t-2a+ \sqrt{t^2+4t} }{2} \right)+ \frac{1}{f\left( \frac{t-2a+ \sqrt{t^2+4t} }{2} \right)} +a }\)

Podstawmy:

\(\displaystyle{ t_{1}=\frac{t-2a+ \sqrt{t^2+4t} }{2}}\)

Kolejna iteracja i mamy:

\(\displaystyle{ f(t)=f\left( \frac{t_{1}-2a+ \sqrt{t_{1}^2+4t_{1}} }{2} \right)+ \frac{1}{f\left( \frac{t_{1}-2a+ \sqrt{t_{1}^2+4t_{1}} }{2} \right)} + \frac{1}{f\left( t_{1}\right) } +2a}\)

Po iluś iteracjach pojawi się coś takiego:

\(\displaystyle{ f(t)=A+na}\)

\(\displaystyle{ A>0}\) - z warunków zadania

\(\displaystyle{ a>0}\) - z warunku a4karo

n rośnie w sposób nieograniczony niezależny od \(\displaystyle{ t}\) co sugeruje, że:

\(\displaystyle{ a=0}\)

Dodano po 7 dniach 14 godzinach 31 minutach 53 sekundach:
Może tu też był słowotok???
A ja powiem (nie)!!!