Matematyka.pl

Funkcja \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\) spełnia dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR}\) równanie:
\(\displaystyle{ f(1-f(x))=x}\)
Pokaż, że \(\displaystyle{ f}\) ma funkcję odwrotną.

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

Wystarczy udowodnić, że jest bijekcją, co jest dość natychmiastowe.

JK

Fakt. Dla \(\displaystyle{ f:X\to X}\) mamy:

Dowód. \(\displaystyle{ \left( \Rightarrow \right) }\) jest oczywisty i prawdziwy w większej ogólności. Jeśli \(\displaystyle{ f^{-1}}\) jest odwrotna do \(\displaystyle{ f}\) to \(\displaystyle{ f^{-1}\circ f^{-1}}\) jest odwrotna do \(\displaystyle{ f\circ f}\).

\(\displaystyle{ \left( \Leftarrow \right) }\) Iniektywność jest oczywista. Niech \(\displaystyle{ x_1,x_2\in X}\) takie, że \(\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2)}\) więc \(\displaystyle{ \left( f\circ f\right)(x_1)=(f\circ f)(x_2) }\) zatem \(\displaystyle{ x_1=x_2}\). Subiektywność wynika z definicji. Niech \(\displaystyle{ x'\in X}\), weźmy \(\displaystyle{ \xi\in X}\) takie, że \(\displaystyle{ \left( f\circ f\right)(\xi)=x' }\), wskazujemy więc \(\displaystyle{ f(\xi)}\) na świadka.

Co do zadania. wystarczy więc zauważyć, że w warunek \(\displaystyle{ f(1-f(x))=x}\) można zapisać jako złożenie funkcji \(\displaystyle{ g(x)=1-f(x)}\) następująco \(\displaystyle{ (g\circ g)(x)=1-x}\). Przy czym \(\displaystyle{ x\mapsto 1-x}\) to bijekcja.