Matematyka.pl

Funkcja \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\) ma tę własność, że funkcja
\(\displaystyle{ g(x)=f(x)+\sin(f(x))}\)
jest okresowa. Udowodnij, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) też jest okresowa.

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

Zbadać funkcję `y+\sin y` i wyciągnąć wnioski

Nie wiem, nie rozumiem. Sprawdziłem, że ta funkcja, którą podałeś jest różnowartościowa, ale nie wiem jakie z tego wnioski wyciągnąć. Mam co prawda inny pomysł, ale nie wiem czy dobry:
Istnieje \(\displaystyle{ t \in \RR}\), że \(\displaystyle{ g(x+t)=f(x+t)+\sin(f(x+t))=f(x)+\sin(f(x))}\) no i teraz jakby się udało pokazać, że \(\displaystyle{ \sin(f(x))=\sin(f(x+t))}\) to byłby koniec zadania, ale nie wiem jak to pokazać. Czy to dobra droga?

Jak oznaczysz tę funkcje przez `h(y)`, to `g(x)=h(f(x))`. Co wynika z faktu, że `g(x+T)=g(x)`?

No to wynika chyba, że \(\displaystyle{ h(f(x))=h(f(x+T))}\) i teraz z tego, że \(\displaystyle{ h}\) jest różnowartościowa i na wynika, że ma funkcję odwrotną, więc możemy na obu stronach tej nierówności zrobić \(\displaystyle{ h^{-1}}\) i dostaniemy
\(\displaystyle{ f(x)=f(x+T)}\). Czy tak jest dobrze?

Tak

No ok, a jak wykazać, że \(\displaystyle{ h}\) jest różnowartościowa i na?

Sprawdziłeś, że jest różnowartościowa???. Co ćię obchodzi czy jest "na". i "na" co ma być? Jest "na" na swój obraz i to wystarczy, żeby istniała funkcja odwrotna na tymże obrazie.

Ok, to zostawmy to "na". Próbuję w tej chwili wykazać, że jest różnowartościowa:
Zakładam, że \(\displaystyle{ h(x_1)=h(x_2)}\) i chcę wykazać, że \(\displaystyle{ x_1=x_2}\). Zapisałem:
\(\displaystyle{ x_1+\sin x_1=x_2+\sin x_2}\) i dalej
\(\displaystyle{ x_1-x_2=\sin x_2-\sin x_1}\) czyli
\(\displaystyle{ x_1-x_2=2\sin( \frac{x_2-x_1}{2})\cos( \frac{x_2+x_1}{2}) }\),
ale nie wiem co dalej?

Dodano po 1 godzinie 12 minutach 34 sekundach:
Podbijam pytanie.

A nie prosciej pochodna policzyć?

Dodano po 3 godzinach 12 minutach 14 sekundach:

max123321 pisze: ↑11 gru 2022, o 17:03 Ok, to zostawmy to "na". Próbuję w tej chwili wykazać, że jest różnowartościowa:
Zakładam, że \(\displaystyle{ h(x_1)=h(x_2)}\) i chcę wykazać, że \(\displaystyle{ x_1=x_2}\). Zapisałem:
\(\displaystyle{ x_1+\sin x_1=x_2+\sin x_2}\) i dalej
\(\displaystyle{ x_1-x_2=\sin x_2-\sin x_1}\) czyli
\(\displaystyle{ x_1-x_2=2\sin( \frac{x_2-x_1}{2})\cos( \frac{x_2+x_1}{2}) }\),
ale nie wiem co dalej?

Dodano po 1 godzinie 12 minutach 34 sekundach:
Podbijam pytanie.

Z \(\displaystyle{ x_1-x_2=2\sin( \frac{x_2-x_1}{2})\cos( \frac{x_2+x_1}{2}) }\) wynika \(\displaystyle{ \left|\frac{x_1-x_2}{2}\right|=\left|\sin( \frac{x_2-x_1}{2})\cos( \frac{x_2+x_1}{2})\right| < \left|\frac{x_2-x_1}{2}\right|}\) gdy `x_1\ne x_2`