Matematyka.pl

Cześć Wszystkim!

Niemałą zagwozdkę sprawia mi jak w formalnej postaci udowodnić różnowartościowość danej funkcji:

\(\displaystyle{ f(x) = x^{3} + 1 }\)

Podobnie to, jak formalnie udowodnić, że dana funkcja:

\(\displaystyle{ f(x) = x - \sqrt{x} }\)

nie będzie różnowartościowa?

Dziękuje za pomoc i wszelkie odpowiedzi!

nieznany_user pisze: ↑27 lis 2022, o 23:22 Niemałą zagwozdkę sprawia mi jak w formalnej postaci udowodnić różnowartościowość danej funkcji:

\(\displaystyle{ f(x) = x^{3} + 1 }\)

Z definicji, pokazując że \(\displaystyle{ f(x_2)-f(x_1)\ne 0}\) dla dowolnych, różnych \(\displaystyle{ x_1,x_2}\). To prosty rachunek.

nieznany_user pisze: ↑27 lis 2022, o 23:22 Podobnie to, jak formalnie udowodnić, że dana funkcja:

\(\displaystyle{ f(x) = x - \sqrt{x} }\)

nie będzie różnowartościowa?

Jeszcze prościej (ale też z defnicji) - wskazać dwa różne argumenty, dla których funkcja przyjmuje tę samą wartość.

JK

Rzeczywiście z pierwszym przykładem, który podałem teraz widzę, że dało się to dosyć normalnie wyprowadzić...

Jan Kraszewski pisze: ↑27 lis 2022, o 23:29

nieznany_user pisze: ↑27 lis 2022, o 23:22 Podobnie to, jak formalnie udowodnić, że dana funkcja:

\(\displaystyle{ f(x) = x - \sqrt{x} }\)

nie będzie różnowartościowa?

Jeszcze prościej (ale też z defnicji) - wskazać dwa różne argumenty, dla których funkcja przyjmuje tę samą wartość.

JK

Jednak przypuśćmy, że ta sama wartość funkcji dla dwóch różnych argumentów byłaby bardzo trudna do znalezienia... Jak w takim właśnie przypadku wykazać brak różnowartościowości (dla choćby tego podanego przeze mnie wyżej przykładu, bo próbowałem i nie mogło mi to jakoś wyjść...)?

nieznany_user pisze: ↑27 lis 2022, o 23:58Jednak przypuśćmy, że ta sama wartość funkcji dla dwóch różnych argumentów byłaby bardzo trudna do znalezienia... Jak w takim właśnie przypadku wykazać brak różnowartościowości

Formalnie argumentem zawsze jest pokazanie istnienia dwóch różnych argumentów, które dają tę samą wartość. Najprościej te argumenty wskazać. Jak nie od razu je widać, to można wspomóc się rysunkiem (patrz niżej), rachunkiem (np. takim jak dla różnowartościowości i patrzysz, gdzie się psuje) albo próbować innych metod (np. jeśli funkcja ciągła ma ekstremum, to nie jest różnowartościowa).

nieznany_user pisze: ↑27 lis 2022, o 23:58(dla choćby tego podanego przeze mnie wyżej przykładu, bo próbowałem i nie mogło mi to jakoś wyjść...)?

Hmm... \(\displaystyle{ f(0)=f(1)...}\) Od razu widać z rysunku (na którym szukasz punktów przecięcia krzywych \(\displaystyle{ y=x}\) i \(\displaystyle{ y=\sqrt{x}}\)).

JK

Ok, teraz w końcu zrozumiałem jaki stoi za tym wszystkim tok rozumowania.
Dziękuję bardzo za odpowiedź!!!

Dodano po 13 godzinach 44 minutach 46 sekundach:
Jeszcze zanim temat zostanie "zamknięty", to o ile nie będzie to problemem, pozwolę sobie spytać o jeszcze jeden przykład z którym miałem problem:
Wykazać, że funkcja:

\(\displaystyle{ f(x) = 3 - \sqrt[3]{x+2} }\)

Jest różnowartościowa.

Głowiłem się, jednak "nie przyszło mi do głowy" jak go rozwiązać.
Udało mi się tylko dojść do postaci:
\(\displaystyle{ \frac{x _2 - x_1}{(x_2 + 2)^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{x_1 \cdot x_2 + 2x_1 + 2x_2 + 4} + (x_1 + 2)^{\frac{2}{3}}} }\)
gdzie:
\(\displaystyle{ (x_2 + 2)^{\frac{2}{3}} \ge 0, }\)
\(\displaystyle{ (x_1 + 2)^{\frac{2}{3}} \ge 0 }\)

Jednak nie wiedziałem co zrobić z:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{x_1 \cdot x_2 + 2x_1 + 2x_2 + 4} }\)

Wydaje mi się to dość bliskie prawidłowego rozwiązania, jednak nie wiem właśnie co dalej
Zdaję sobie sprawę z tego, że po tym wystarczy tylko dopisać, że: \(\displaystyle{ x_2 - x_1 \neq 0 }\), więc: \(\displaystyle{ f(x_1) \neq f(x_2). }\)
Jednak właśnie nie wiem jak wykazać, że mianownik nie będzie się zerował (po prostu nie będzie równy zero).

Dziękuję za wszelką pomoc.

Możesz wykorzystać fakt, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{x}}\) jest funkcja odwrotną do funkcji `x^3`, a funkcja odwrotna do funkcji ściśle rosnącej jest ściśle rosnąca.

Możesz policzyć pochodną, która jest ujemna wszędzie, gdzie jest określona, czyli poza \(\displaystyle{ x=-2}\). Zatem funkcja jest ściśle malejąca na przedziałach \(\displaystyle{ (-\infty, -2)}\) i \(\displaystyle{ (-2,+\infty)}\), a ponieważ jest ciągła w \(\displaystyle{ -2}\), to jest ściśle malejąca na całej prostej. A każda funkcja ściśle monotoniczna jest różnowartościowa.

JK

A z definicji: załóżmy, że \(\displaystyle{ f(x) = f(y)}\). Wtedy kolejno

\(\displaystyle{ \begin{align*}
3 - \sqrt[3]{x+2} & = 3 - \sqrt[3]{y+2} && \Big| \, -3 \\
-\sqrt[3]{x+2} & = -\sqrt[3]{y+2} && \Big| \, \cdot (-1) \\
\sqrt[3]{x+2} & = \sqrt[3]{y+2} && \Big| \, ()^3 \\
x+2 & = y+2
\end{align*}}\)

zatem \(\displaystyle{ x=y}\), czego należało dowieść.