f = ?
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5750
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: f = ?
W tym zadaniu jak podstawimy:
\(\displaystyle{ x=0}\), otrzymamy \(\displaystyle{ f(0)=0}\)
I funkcja \(\displaystyle{ f(x)=0}\) jak łatwo zauważyć spełnia warunki zadania...
jeżeli dla pewnego\(\displaystyle{ x:}\)
\(\displaystyle{ f(x)=1}\)
to otrzymamy:
\(\displaystyle{ f(xf(x))=2f(x)=f(x)}\)
czyli:
\(\displaystyle{ 2=1}\)
sprzeczność
Nie może tak być...
jeżeli teraz sukcesywnie będziemy za x podstawiać:
\(\displaystyle{ x:=xf(x)}\)
otrzymamy:
\(\displaystyle{ f(xf(x))=f(xf(x)f(xf(x))=f(2xf^2(x))=2f(x)}\)
postępując tak \(\displaystyle{ n}\) - krotnie otrzymamy:
\(\displaystyle{ f(2^{ \frac{n(n-1)}{2} }xf^n(x))=2^nf(x)}\)
teraz weźmy wszystkie takie liczby a dla których:
istnieje takie\(\displaystyle{ b}\), że:
\(\displaystyle{ f(a)=b}\)
otrzymamy:
\(\displaystyle{ f(2^{ \frac{n(n-1)}{2} }ab^n)=2^nb}\)
zauważmy, że n może być całkowite w niczym to nie przeszkadza...
Możemy teraz podzielić zbiór liczb rzeczywistych na klasy abstrakcji:
\(\displaystyle{ S_{a}=\left\{ y \in \RR: y=2^{ \frac{n(n-1)}{2} }ab^n , n \in \ZZ\right\} }\)
gdzie:
\(\displaystyle{ f(y)=2^nb}\)
liczby \(\displaystyle{ a}\) powinny być wymierne, to by gwarantowało, że klasy są rozłączne...z tym akurat nie jestem do końca pewny...
Funkcja jest okreslona na klasach abstrakcji i na każdym elemencie klasy przyjmuje tę samą wartość...
do jednej klasy należą wszystkie takie \(\displaystyle{ a}\) dla, których:
\(\displaystyle{ f(a)=b}\)
Jak widać jest tego sporo...
\(\displaystyle{ x=0}\), otrzymamy \(\displaystyle{ f(0)=0}\)
I funkcja \(\displaystyle{ f(x)=0}\) jak łatwo zauważyć spełnia warunki zadania...
jeżeli dla pewnego\(\displaystyle{ x:}\)
\(\displaystyle{ f(x)=1}\)
to otrzymamy:
\(\displaystyle{ f(xf(x))=2f(x)=f(x)}\)
czyli:
\(\displaystyle{ 2=1}\)
sprzeczność
Nie może tak być...
jeżeli teraz sukcesywnie będziemy za x podstawiać:
\(\displaystyle{ x:=xf(x)}\)
otrzymamy:
\(\displaystyle{ f(xf(x))=f(xf(x)f(xf(x))=f(2xf^2(x))=2f(x)}\)
postępując tak \(\displaystyle{ n}\) - krotnie otrzymamy:
\(\displaystyle{ f(2^{ \frac{n(n-1)}{2} }xf^n(x))=2^nf(x)}\)
teraz weźmy wszystkie takie liczby a dla których:
istnieje takie\(\displaystyle{ b}\), że:
\(\displaystyle{ f(a)=b}\)
otrzymamy:
\(\displaystyle{ f(2^{ \frac{n(n-1)}{2} }ab^n)=2^nb}\)
zauważmy, że n może być całkowite w niczym to nie przeszkadza...
Możemy teraz podzielić zbiór liczb rzeczywistych na klasy abstrakcji:
\(\displaystyle{ S_{a}=\left\{ y \in \RR: y=2^{ \frac{n(n-1)}{2} }ab^n , n \in \ZZ\right\} }\)
gdzie:
\(\displaystyle{ f(y)=2^nb}\)
liczby \(\displaystyle{ a}\) powinny być wymierne, to by gwarantowało, że klasy są rozłączne...z tym akurat nie jestem do końca pewny...
Funkcja jest okreslona na klasach abstrakcji i na każdym elemencie klasy przyjmuje tę samą wartość...
do jednej klasy należą wszystkie takie \(\displaystyle{ a}\) dla, których:
\(\displaystyle{ f(a)=b}\)
Jak widać jest tego sporo...