Matematyka.pl

Dla jakich \(\displaystyle{ f}\): \(\displaystyle{ f(x f(x)) = 2f(x)}\) gdy \(\displaystyle{ x \in \RR}\)

W tym zadaniu jak podstawimy:

\(\displaystyle{ x=0}\), otrzymamy \(\displaystyle{ f(0)=0}\)

I funkcja \(\displaystyle{ f(x)=0}\) jak łatwo zauważyć spełnia warunki zadania...

jeżeli dla pewnego\(\displaystyle{ x:}\)

\(\displaystyle{ f(x)=1}\)

to otrzymamy:

\(\displaystyle{ f(xf(x))=2f(x)=f(x)}\)

czyli:

\(\displaystyle{ 2=1}\)

sprzeczność

Nie może tak być...

jeżeli teraz sukcesywnie będziemy za x podstawiać:

\(\displaystyle{ x:=xf(x)}\)

otrzymamy:

\(\displaystyle{ f(xf(x))=f(xf(x)f(xf(x))=f(2xf^2(x))=2f(x)}\)

postępując tak \(\displaystyle{ n}\) - krotnie otrzymamy:

\(\displaystyle{ f(2^{ \frac{n(n-1)}{2} }xf^n(x))=2^nf(x)}\)

teraz weźmy wszystkie takie liczby a dla których:

istnieje takie\(\displaystyle{ b}\), że:

\(\displaystyle{ f(a)=b}\)

otrzymamy:

\(\displaystyle{ f(2^{ \frac{n(n-1)}{2} }ab^n)=2^nb}\)

zauważmy, że n może być całkowite w niczym to nie przeszkadza...

Możemy teraz podzielić zbiór liczb rzeczywistych na klasy abstrakcji:

\(\displaystyle{ S_{a}=\left\{ y \in \RR: y=2^{ \frac{n(n-1)}{2} }ab^n , n \in \ZZ\right\} }\)

gdzie:

\(\displaystyle{ f(y)=2^nb}\)

liczby \(\displaystyle{ a}\) powinny być wymierne, to by gwarantowało, że klasy są rozłączne...z tym akurat nie jestem do końca pewny...

Funkcja jest okreslona na klasach abstrakcji i na każdym elemencie klasy przyjmuje tę samą wartość...

do jednej klasy należą wszystkie takie \(\displaystyle{ a}\) dla, których:

\(\displaystyle{ f(a)=b}\)

Jak widać jest tego sporo...