Matematyka.pl

Dziedziną funkcji złożonej \(\displaystyle{ g\circ f}\) jest zbiór \(\displaystyle{ D=\left\{ x: x \in D_f \wedge f(x) \in D_g\right\} }\). Chciałam zapytać, czy dziedzinę funkcji złożonej można wyznaczać w ten sposób, że wyznaczam wzór funkcji \(\displaystyle{ g\circ f}\), następnie na podstawie wzoru ustalam jej dziedzinę, a następnie biorę część wspólną wyznaczonego zbioru i dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f}\)?

Np. \(\displaystyle{ f(x)=x^2-25, \ D_f=\mathbb{R}, \ g(x)= \sqrt{x+9}, \ D_g=[-9,+\infty) \\
g\circ f= \sqrt{x^2-16}\\
f(x) \in D_g \Leftrightarrow x^2-25 \ge -9 \Leftrightarrow x^2-16 \ge 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty,-4] \cup [4,+\infty) }\)
Natomiast gdybym wyznaczała dziedzinę złożenia na podstawie wzoru, od razu dostałabym warunek \(\displaystyle{ x^2-16 \ge 0}\).
Czyli w tym przypadku się zgadza, ale zastanawiam się, czy zawsze tak można?

A pomyśl np. o `f(x)=sqrt{x}` i `g(x)=x^2`

No też działa...

JK

No fakt

Moim zdaniem Twój sposób jest ok pod pewnymi (niekoniecznie formalnymi) warunkami:

• Dziedzinę złożenia wyznaczasz nie ze wzoru uproszczonego lecz ze wzoru funkcji bez żadnych uproszczeń przykładowo: \(\displaystyle{ \left( \sqrt{x}\right) ^2 }\) jest napisem z którego wyznaczasz dziedzinę (patrz przykład a4karo).

• Mowa o dziedzinach naturalnych.

Jeśli nie spełnisz pierwszego warunku to możesz popełnić błąd polegający na tym, że złożenie \(\displaystyle{ g\circ f}\) będzie mieć dziedzinę większą niż powinno przez co pewnym wartością \(\displaystyle{ x}\) przypiszesz nie wiadomo co. Jeśli nie spełnisz drugiego warunku błąd jest niemal gwarantowany, gdy funkcje nie są określone na dziedzinie naturalnej to gubisz o nich informację, gdy posługujesz się jedynie wzorami. Przykładowo funkcji
w ogóle nie można złożyć (o ile nie myślimy o funkcji pustej). I w tym momencie przydaje się znajomość \(\displaystyle{ \text{dom}(g\circ f)}\) co krótko zapisać można \(\displaystyle{ \text{dom}(f) \cap f^{-1}[\text{dom}(g)]}\). Mimo, że \(\displaystyle{ \sqrt{x} }\) wydawać by się mogło składa się z \(\displaystyle{ x^2}\) zawsze, to tak nie jest.

Janusz Tracz pisze: ↑17 paź 2022, o 23:41

• Dziedzinę złożenia wyznaczasz nie ze wzoru uproszczonego lecz ze wzoru funkcji bez żadnych uproszczeń przykładowo: \(\displaystyle{ \left( \sqrt{x}\right) ^2 }\) jest napisem z którego wyznaczasz dziedzinę (patrz przykład a4karo).

Ten warunek jest zbędny (przykład a4karo nie jest kontrprzykładem).

Janusz Tracz pisze: ↑17 paź 2022, o 23:41

• Mowa o dziedzinach naturalnych.

Ten warunek jest w kontekście zadanego pytania oczywisty.

JK

Jan Kraszewski pisze: ↑17 paź 2022, o 23:52 Ten warunek jest zbędny (przykład a4karo nie jest kontrprzykładem).

Nie twierdzę, że to kontrprzykład w formalnym matematycznym sensie. Nawet napisałem, że to raczej nieformalne zasady. Ale trudno mi sobie wyobrazić świat w którym wszyscy studenci na funkcję (omawiane złożenie) \(\displaystyle{ x\mapsto \left( \sqrt{x} \right)^2=x }\) patrzą jak na \(\displaystyle{ \text{id}_{\left[ 0,\infty\right) }}\), a nie \(\displaystyle{ \text{id}_{\RR}}\). Powiem więcej: mam na to dowody. Więc pierwszy warunek miał wskazywać pewne niebezpieczeństwo związane z tym podejściem i być przestrogą przed nonszalanckim upraszczaniem.

Jan Kraszewski pisze: ↑17 paź 2022, o 23:52 Ten warunek jest w kontekście zadanego pytania oczywisty.

Niby tak ale nawet na kierunkach nie matematycznych zdarzają się zadania, gdzie funkcja nie jest określona na dziedzinie naturalnej tylko na jakiejś mniejszej. Więc nie sądzę, że wymienianie tego warunku było bezpodstawnie. Autorka za chwile może (a może nie) będzie robić zadanie z funkcjami przyciętymi. Więc jeśli chodzi o część:

inusia146 pisze: ↑17 paź 2022, o 22:28 Np. \(\displaystyle{ f(x)=x^2-25, \ D_f=\mathbb{R}, \ g(x)= \sqrt{x+9}, \ D_g=[-9,+\infty) \\
g\circ f= \sqrt{x^2-16}\\
f(x) \in D_g \Leftrightarrow x^2-25 \ge -9 \Leftrightarrow x^2-16 \ge 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty,-4] \cup [4,+\infty) }\)
Natomiast gdybym wyznaczała dziedzinę złożenia na podstawie wzoru, od razu dostałabym warunek \(\displaystyle{ x^2-16 \ge 0}\).
Czyli w tym przypadku się zgadza, ale zastanawiam się, czy zawsze tak można?

To faktycznie jest jasne, że pracujemy na dziedzinach naturalnych. Należy jednak pamiętać, że pytanie jest bardziej ogólne, a powyższe to był jedynie przykład. Pytaniem głównym jest

inusia146 pisze: ↑17 paź 2022, o 22:28 Dziedziną funkcji złożonej \(\displaystyle{ g\circ f}\) jest zbiór \(\displaystyle{ D=\left\{ x: x \in D_f \wedge f(x) \in D_g\right\} }\). Chciałam zapytać, czy dziedzinę funkcji złożonej można wyznaczać w ten sposób, że wyznaczam wzór funkcji \(\displaystyle{ g\circ f}\), następnie na podstawie wzoru ustalam jej dziedzinę, a następnie biorę część wspólną wyznaczonego zbioru i dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f}\)?

I do tego tyczy się wzmianka o dziedzinach naturalnych.

Janusz Tracz pisze: ↑18 paź 2022, o 10:42

Jan Kraszewski pisze: ↑17 paź 2022, o 23:52 Ten warunek jest zbędny (przykład a4karo nie jest kontrprzykładem).

Nie twierdzę, że to kontrprzykład w formalnym matematycznym sensie. Nawet napisałem, że to raczej nieformalne zasady. Ale trudno mi sobie wyobrazić świat w którym wszyscy studenci na funkcję (omawiane złożenie) \(\displaystyle{ x\mapsto \left( \sqrt{x} \right)^2=x }\) patrzą jak na \(\displaystyle{ \text{id}_{\left[ 0,\infty\right) }}\), a nie \(\displaystyle{ \text{id}_{\RR}}\). Powiem więcej: mam na to dowody. Więc pierwszy warunek miał wskazywać pewne niebezpieczeństwo związane z tym podejściem i być przestrogą przed nonszalanckim upraszczaniem.

W ogólności zgoda, ale akurat autorka wydaje się być świadoma, na czym polega składanie funkcji.

JK