Matematyka.pl

Wyznaczyć wszystkie \(\displaystyle{ f}\) takie, że \(\displaystyle{ x f^{\prime \prime}(x) = (x-2)f(x)}\) dla \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\).

Widzę to w ciemnych kolorach

\(\displaystyle{ xy''=(x-2)y /:y'}\)

\(\displaystyle{ x \frac{y''}{y'} =(x-2) \frac{y}{y'} }\)

po sprytnym podstawieniu:

\(\displaystyle{ p= \frac{y}{y'} }\)

a co za tym idzie:

\(\displaystyle{ \frac{y''}{y'} = \frac{1-p'}{p} }\)

otrzymamy po przekształceniu ze wskazaniem na czynnik całkujący:

\(\displaystyle{ (xp^2-x-2p^2)dx+xdp=0}\)

ale dalej to już koszmar a wolfram podpowiada:
https://www.wolframalpha.com/input?i=xy%5E2-x-2y%5E2%2Bxy%27%3D0

więc scałkowanie tego to hardkor:

można by jeszcze próbować porównywaniem szeregów nieskończonych

Nie znowu w takich ciemnych.... może być \(\displaystyle{ f(x)=x e^{-x}}\).

Tak to też przy C=0