Dowodzenie różnowartościowości funkcji

Wszelkiego rodzaju zadania nie dotyczące funkcji w działach powyżej lub wiążace więcej niż jeden typ funkcji. Ogólne własności. Równania funkcyjne.
inusia146
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 188
Rejestracja: 23 lis 2014, o 16:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 90 razy

Dowodzenie różnowartościowości funkcji

Post autor: inusia146 »

Czy różnowartościowość funkcji \(\displaystyle{ f}\) można dowodzić w ten sposób: zakładamy, że \(\displaystyle{ f(x_1) \neq f(x_2)}\) i pokazujemy, że \(\displaystyle{ x_1 \neq x_2}\)?
A jeśli nie można, to dlaczego? Chodzi o to, że zakładamy tezę?

PS Wiem, że standardowo dowodzi się w ten sposób, że zakładamy \(\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2)}\) i pokazujemy, że \(\displaystyle{ x_1=x_2}\).
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Dowodzenie różnowartościowości funkcji

Post autor: Premislav »

Nie można, popełniasz błąd logiczny. To, co chciałabyś pokazywać, jest oczywistością i zachodzi dla każdej funkcji; wynika wprost z definicji funkcji. Działa też np. dla funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\) określonej na rzeczywistych, a przecież \(\displaystyle{ f(1)=f(-1)}\).

Można natomiast wykazywać, że jeśli \(\displaystyle{ x_1\neq x_2}\), to \(\displaystyle{ f(x_1)\neq f(x_2)}\), choć zazwyczaj jest to mniej wygodne (czasem nie, np. gdy funkcja jest monotoniczna i można skorzystać z jakichś prostych nierówności).
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Dowodzenie różnowartościowości funkcji

Post autor: Jan Kraszewski »

inusia146 pisze: 19 mar 2022, o 12:47zakładamy, że \(\displaystyle{ f(x_1) \neq f(x_2)}\) i pokazujemy, że \(\displaystyle{ x_1 \neq x_2}\)?
Czyli - równoważnie - zakładasz \(\displaystyle{ x_1=x_2}\) i pokazujesz, że wówczas \(\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2)}\). Jak nietrudno zauważyć jest to trywialnie prawdziwe dla dowolnej funkcji...

JK
ODPOWIEDZ