Matematyka.pl

Jakby ktos byl tak mily i krok po kroku wytlumaczyl mi jak zrobic te przyklady:
Musze wskazac asymptoty podanych funkcji i zaznaczyc czy sa to asymptoty pionowe poziome czy ukosne.

\(\displaystyle{ \frac{x^{3}-8}{x^{2}-4}}\)


\(\displaystyle{ x+2^{-x}}\)


\(\displaystyle{ \frac{x^{2}+2}{x^{2}-x-1}}\)


\(\displaystyle{ \frac{x^{3}-x^{2}+x-1}{x^{2}-2}}\)

Za kazda pomoc serdeczne dziekuje

asymptoty pionowe wyznaczamy dla punktow ktore nie naleza do dziedziny funkcji, czyli w I przykladzie dla 2 i -2.
liczymy lim x->2 \(\displaystyle{ \frac{(x-2)(x^{2}+2x+4)}{(x-2)(x+2)}= \frac{x^{2} + 2x+4}{x+2}}\)
podstawiamy x=2 lim x->2 \(\displaystyle{ \frac{x^{2} + 2x+4}{x+2}=3}\)
asympota pionowa istnieje gdy granica w punkcie x0 jest niewlasciwa czyli dazy do nieskonczonosci, czyli x=2 nie jest asymptota. Sprawdzimy dla x=-2
lim x->-2 \(\displaystyle{ \frac{x^{2} + 2x+4}{x+2}=[\frac{4}{0}]}\)
jesli mamy taka sytuacje, ze w liczniku jest jakas stala a w mianowniku 0 to szkicujemy sobie prosty wykres mianownika i sprawdzamy gdzie jest >0 a gdzie -2^{+}f(x)=[\frac{4}{0^{+}}][/latex]= + nieskonczonosc
x+2>0 x>-2 stad to sie wzielo
a po lewej stronie -2 mianownik jest ujemny wiec granica wynosi= -nieskonczonosc
z tego wynika, ze x=-2 jest asymptota pionowa obustronna

czas na asymptoty poziome:
lim x-> + ∞ \(\displaystyle{ \frac{x^{2} + 2x+4}{x+2}}\) wylaczasz najwyzsze potegi x przed nawiasy
lim x->+ ∞ \(\displaystyle{ \frac{x^{2}(1+\frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}})}{x(1+\frac{2}{x})}=x}\)
lim x->+ ∞ x= + niesk.
dla - ∞
lim x-> - ∞ x= - ∞
funkcja ma asymptoty poziome jesli w nieskonczonosciach maja granice wlasciwa (jakas liczbe), wiec w naszym przykaldzie nie bedzie poziomych

asymptoty ukosne liczysz z wzorow:
a= lim x->+- ∞ \(\displaystyle{ \frac{f(x)}{x}}\)
b= lim x->+- ∞ [f(x)-ax)]
liczymy je tylko gdy a i b=const nie moga byc ∞
asymptoty ukosne sa wtedy gdy stopien licznika jest o jeden wyzszy od stopnia mianownika
wiec w tym przykladzie beda
pozdrawiam