Matematyka.pl

Przy pomocy indukcji matematycznej wykonać:
1�+2�+3�+...+n� = (n�+n)�4

dla n=1
\(\displaystyle{ 1^{3}=1}\)

założenie:
dla n=k
\(\displaystyle{ 1^{3}+2^{3}+...+k^{3}=\frac{(k^{2}+k)^{2}}{4}=\frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}}\)

teza:
dla n=k+1
\(\displaystyle{ \frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}+(k+1)^{3}=\frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}+\frac{4(k+1)^{3}}{4}=\frac{k^{2}(k+1)^{2}+4(k+1)^{3}}{4}=\frac{(k+1)^{2}(k^{2}+4(k+1))}{4}=\frac{(k+1)^{2}(k^{2}+4k+4)}{4}=\frac{(k+1)^{2}(k+2)^{2}}{4}}\)
co dowodzi tego wzoru

1) n=1

L=1�=1, P=(1�+1)�/4=4/4=1, L=P.

2) Założenie indukcyjne:

1�+2�+...+n�=(n�+n)�/4,

teza indukcyjna:
1�+2�+...+n�+(n+1)�=((n+1)�+n+1)�/4=(n+1)�(n+1+1)�/4=(n+1)�(n+2)�/4.

Dowód tezy ibdukcyjnej:
L=1�+2�+...+n�+(n+1)�=(n�+n)�/4+(n+1)�=n�(n+1)�/4+(n+1)�=(n+1)�(n�/4+n+1)=
=(n+1)�(n�+4n+4)/4=(n+1)�(n+2)�/4=P
co należło udowodnić.