Matematyka.pl

Indukcja względem \(\displaystyle{ k}\).
\(\displaystyle{ (x _{1} +...+x _{k} ) ^{n} = \sum_{n _{1} +...+n _{k}=n } \frac{n!}{n _{1}!...n _{k}! }x _{1} ^{n _{1} } ... \ x _{k} ^{n _{k} }}\)

Czy wie ktoś może z której strony ugryźć ten problem?

Moje zdanie jest takie, że dużo fajniej dowodzi się tej tożsamości z zastosowaniem interpretacji kombinatorycznej, ale nie o to pytasz.
\(\displaystyle{ 1^{\circ}}\) dla \(\displaystyle{ k=2}\) otrzymujemy znany wzór dwumianowy Newtona (też można udowodnić pisząc interpretację kombinatoryczną lub indukcją, tym razem po \(\displaystyle{ n}\), nie powinieneś mieć z tym problemu):
\(\displaystyle{ (x_1+x_2)^n= \sum_{n_1, n_2 \in \NN, \ n_1+n_2=n}^{} \frac{n!}{n_1!n_2!}x_1^{n_1}x_2^{n_2}= \sum_{n_1=0}^{n} {n \choose n_1}x_1^{n_1}x_2^{n-n_1}}\)
To teraz tak:
\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\) Przypuśćmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ k_{\in \NN}}\) i dowolnych rzeczywistych (czy tam nawet zespolonych) \(\displaystyle{ x_1, \ldots x_k}\) oraz dowolnych \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\) zachodzi
\(\displaystyle{ (x _{1} +...+x _{k} ) ^{n} = \sum_{n _{1} +...+n _{k}=n } \frac{n!}{n _{1}!...n _{k}! }x _{1} ^{n _{1} } ... \ x _{k} ^{n _{k} }}\)
Zatem mamy
\(\displaystyle{ (x _{1} +...+x _{k}+x_{k+1} ) ^{n} = \sum_{n _{1} +...+n _{k}=n } \frac{n!}{n _{1}!...n _{k}! }x _{1} ^{n _{1} } ... \ (x _{k}+x_{k+1}) ^{n _{k} }}\)
Teraz do wyrażenia
\(\displaystyle{ (x _{k}+x_{k+1}) ^{n _{k} }}\) stosujemy wzór dwumianowy Newtona (czyli to z pierwszego kroku indukcyjnego) i jest
\(\displaystyle{ (x _{k}+x_{k+1}) ^{n _{k} }= \sum_{l+m=n_k}^{} \frac{n_k!}{l!m!} x_k^l x_{k+1}^m}\)
więc po wstawieniu tego gdzie trzeba wystarczy uzasadnić, że:
\(\displaystyle{ \sum_{n _{1} +...+n _{k}=n } \frac{n!}{n _{1}!...n _{k}! }x _{1} ^{n _{1} } ... \ x_{k-1}^{n_{k-1}}\sum_{l+m=n_k}^{} \frac{n_k!}{l!m!} x_k^l x_{k+1}^m=\\=\sum_{m _{1} +...+m _{k+1}=n } \frac{n!}{m _{1}!...m _{k+1}! }x _{1} ^{m _{1} } ... \ x _{k+1} ^{m _{k+1} }}\)
W tym celu ustal dowolne \(\displaystyle{ m_1, m_2, \ldots m_{k+1} \in \NN}\) (łącznie z zerem) spełniające
\(\displaystyle{ m_1+m_2+\ldots +m_{k+1}=n}\) i policz współczynnik, który z lewej i z prawej strony stoi przy \(\displaystyle{ x_1^{m_1}x_2^{m_2}\ldots x_{k+1}^{m_{k+1}}}\)
Po prawej jest to oczywiście \(\displaystyle{ \frac{n!}{m _{1}!...m _{k+1}! }}\). Co do lewej strony:
weź \(\displaystyle{ n_1:=m_1, n_2:=m_2, \ldots n_{k-1}:=m_{k-1}, n_k:=m_k+m_{k+1}}\)
(mam nadzieję, że nikt nie zatrolluje "skąd wiemy, że takie istnieją", bo to oczywiste).
Wstawiasz, silnie się skracają i wychodzi odpowiedni współczynnik, co kończy dowód.

Dziekuję za pomoc. Nie sądziłem, że ten dowód jest na tym poziomie skomplikowania. Szukałem prostszego rozwiązania i pewnie dlatego nie mogłem dojść do niczego sensownego.