Matematyka.pl

na sumę ciągu 1*2*3+2*3*4+3*4*5+...+n(n+1)(n+2)
...może ktoś wie jaki to wzór...

zacznij od \(\displaystyle{ 1*2 + 2*3 + 3*4 +.....+ n*(n+1)}\) policz a jesli juz bedziesz miał n ato wzor to Twoja sume zapisz sobie:

\(\displaystyle{ 1*2*(2+1) + 2*3*(3+1) + 3*4*(4+1) +.....+ n*(n+1)*(n+1 +1)}\)

i rozbij na dwie sumy te powyzej i te
\(\displaystyle{ 1*2^2 + 2*3^2 + .....+ n*(n+1)^2}\)

i tu juz latwo....

Można też zauważyć, że:
\(\displaystyle{ \Bigsum_{k=1}^{n} (a_{k+1} -a_{k})=a_{n+1} -a_{1}}\).
Weźmy \(\displaystyle{ a_{k}=\frac{1}{4} (k-1)k (k+1)(k+2)}\) , a wtedy \(\displaystyle{ a_{k+1}-a_{k}=\frac{1}{4} k(k+1)(k+2)(k+3) - \frac{1}{4}(k-1)k(k+1)(k+2)=k(k+1)(k+2)}\)
A z tego wynika, że:
\(\displaystyle{ \Bigsum_{k=1}^n k(k+1)(k+2)=\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)}\)
I teraz możesz to sobie udowodnić indukcyjnie