Matematyka.pl

Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania:

Treść zadania: W oparciu o zasadę indukcji matematycznej wykazać, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\)

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}i^{3} = \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}.}\)

pan wykonujący te zadanie w pewnym momencie "pozbywa" się sześcianu za nawiasem, a ja nie bardzo rozumiem jaką zasadą się kierował usuwając ten sześcian? Chciałbym wiedzieć/zrozumieć co mogę zrobić aby nie musieć wszystkiego po kolei obliczać (tak jak zrobił to pan na filmiku czyli bez zbędnych kalkulacji).

Wyciągnął \(\displaystyle{ (k+1)^2}\) przed nawias.

Nie bardzo rozumiem, co masz na myśli pisząc "bez zbędnych kalkulacji".

JK

Czyli "wyciągnął" z \(\displaystyle{ (k+ 1)^{3} (k + 1)^{2}}\),tak?
Mam na myśli, aby nie musieć obliczać obu stron tylko przekształcić jedną tak aby była taka sama jak druga.

Harry_123 pisze:Czyli "wyciągnął" z \(\displaystyle{ (k+ 1)^{3} (k + 1)^{2}}\),tak?

Nie. Wykonał przekształcenie

\(\displaystyle{ \frac{k^2(k+1)^2}{4}+\frac{4(k+1)^3}{4}=(k+1)^2\cdot\frac{k^2+4(k+1)}{4}.}\)

Wystarczy wiedzieć, że \(\displaystyle{ (k+1)^3=(k+1)^2\cdot(k+1)}\).

JK

Dobrze,to mi pomogło zrozumieć..aczkolwiek mam kolejne zadanie do zrobienia w którym utknąłem ponieważ nie wiem co mogę przekształcić mianowicie takie zadanie(treść ta sama):
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} 5 ^{-n} = \frac{1-5^{-n}}{4}}\)

Utknąłem tutaj(udowodniłem dla \(\displaystyle{ n = 1}\) aczkolwiek utknąłem przy udowadnianiu prawdziwości równania dla \(\displaystyle{ n + 1}\)):
\(\displaystyle{ \frac{1-5^{-n}}{4} + \frac{4 \cdot 5^{- \left( n+1 \right) }}{4} = \frac{1-5^{- \left( n+1 \right) }}{4}}\)

To są czyste przekształcenia algebraiczne. Masz

\(\displaystyle{ 1-5^{-n}+4\cdot 5^{-n-1}=1-5^{-n}+\frac45\cdot 5^{-n}=1-\frac15\cdot 5^{-n}=1- 5^{-n-1}.}\)

JK

Dobrze,chociaż zastanawiam się skąd się \(\displaystyle{ \frac{4}{5}}\) "wzięło". Bo jak rozumiem opuściłeś mianownik aby łatwiej móc to przekształcić,tak?

Harry_123 pisze:Dobrze,chociaż zastanawiam się skąd się \(\displaystyle{ \frac{4}{5}}\) "wzięło".

\(\displaystyle{ 4}\) już było, a \(\displaystyle{ 5^{-(n+1)}=5^{-n-1}=5^{-n}\cdot 5^{-1}=5^{-n}\cdot \frac15}\).

Harry_123 pisze:Bo jak rozumiem opuściłeś mianownik aby łatwiej móc to przekształcić,tak?

Tak.

JK

No,dobrze to rozumiem..aczkolwiek można wykonać działanie jak jest nieznana potęga? W sensie \(\displaystyle{ 1-5^{-n}+\frac{4}{5} \cdot 5^{-n}}\) i jak rozumiem dodałeś \(\displaystyle{ -5^{-n}}\) do \(\displaystyle{ \frac{4}{5}}\),tak?

Czy Ty naprawdę nic nie wiesz o wyłączaniu prze nawias i kolejności wykonywania działań?

\(\displaystyle{ 1-5^{-n}+\frac{4}{5} \cdot 5^{-n}=1+5^{-n}\left( -1+\frac45\right)=1+5^{-n}\cdot\left( -\frac15\right)=1- \frac{5^{-n}}{5}}\)

JK

Dobrze,teraz już rozumiem..i wtedy z \(\displaystyle{ 1 - \frac{5 ^{-n}}{5}}\) robimy \(\displaystyle{ 1 - 5 ^{-n-1}}\)
Ok,to ma sens ;D