Matematyka.pl

Witam
Próbuję rozwiązać zadanie następującej treści:
\(\displaystyle{ n, k}\) należą do \(\displaystyle{ \NN \cup \{0\}}\) udowodnij, że \(\displaystyle{ {n \choose k}}\) należy do \(\displaystyle{ \NN}\)
czyli korzystając z indukcji mamy dla \(\displaystyle{ n=1}\) \(\displaystyle{ {1 \choose 0} = {1 \choose 1} = 1}\)
dla \(\displaystyle{ n+1}\) mamy \(\displaystyle{ {n+1 \choose k} = {n \choose k} + {n \choose k - 1} }\)
Czy jeśli udowodnię, że lewa strona równości jest równa prawej, to dowód będzie poprawny?
To znaczy mam na myśli rozwiązanie równania
\(\displaystyle{ \frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!} =\frac{(n)!}{k!(n-k)!} + \frac{(n)!}{(k-1)!(n+1-k)!} }\)

A ze względu na co chcesz rozwiązać to równanie?
W tym zadaniu dobrze wiedzieć jaką masz definicję \(\displaystyle{ \binom{n}{k}}\)

Więc tak uzupełniam założenia i definicje:
\(\displaystyle{ n \ge k}\) natomiast \(\displaystyle{ {n \choose k} = \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!} }\).
Myślę jeszcze, że
\(\displaystyle{ {n+1 \choose k} = {n \choose k} + {n \choose k - 1} }\)
\(\displaystyle{ {n \choose k} }\) należy do \(\displaystyle{ \NN}\) z definicji pozostaje zobaczyć czy \(\displaystyle{ {n \choose k - 1} }\) należy do \(\displaystyle{ \NN}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ n \ge k}\) czyli \(\displaystyle{ n \ge k -1 }\) to \(\displaystyle{ k \le n-1}\)
Gdyby rozwiązać \(\displaystyle{ {n \choose k -1 } }\) podstawiając \(\displaystyle{ n - 1}\) otrzymalibyśmy \(\displaystyle{ {n \choose n - 1} = n}\)
\(\displaystyle{ n}\) należy do \(\displaystyle{ \NN}\).
Czy to jest rozwiązanie?

Nie.
Zastosuj indukcję względem `n`