Udowodnij indukcyjnie, że dla \(\displaystyle{ n}\) naturalnych:
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2} < 1 }\)
Rozpoczęłam to zadanie tak:
1) Krok bazowy:
Dla \(\displaystyle{ n=2}\)
\(\displaystyle{ L= \frac{1}{4} < 1}\)
2) Udowodnię, że jeżeli \(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2} < 1 }\) to \(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n+1} \frac{1}{k^2} < 1 }\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n+1} \frac{1}{k^2} = \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2}+ \frac{1}{(n+1)^{2}} }\)
Jak dokończyć ten dowód?
Udowodnij indukcyjnie.
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Udowodnij indukcyjnie.
Tak Ci się nie uda. Pewnie zauważyłas w czym jest problem - jeśli teraz użyjesz założenia indukcyjnego to będziesz miała \(\displaystyle{ 1 + (\hbox{coś dodatniego}) < 1}\) i bezsensu.
Aby indukcja (tak bezpośrednio) zadziałała, musisz trochę wzmocnić tezę, czyli zamiast pokazywać, że \(\displaystyle{ \sum_{k=2}^n\frac{1}{k^2}< 1}\), pokaż coś więcej, czyli że \(\displaystyle{ \sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2} < 1 - (\hbox{coś zależnego od }n)}\).
A czym ma być to coś zależnego od \(\displaystyle{ n}\)? To trzeba sobie pokombinować i wymyślić (lub znać inny dowód tej nierówności, bez indukcji). Jeśli będziesz miała problem, daj znać, to podam, co tam można sobie wpisać i wtedy indukcja zadziała.
Aby indukcja (tak bezpośrednio) zadziałała, musisz trochę wzmocnić tezę, czyli zamiast pokazywać, że \(\displaystyle{ \sum_{k=2}^n\frac{1}{k^2}< 1}\), pokaż coś więcej, czyli że \(\displaystyle{ \sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2} < 1 - (\hbox{coś zależnego od }n)}\).
A czym ma być to coś zależnego od \(\displaystyle{ n}\)? To trzeba sobie pokombinować i wymyślić (lub znać inny dowód tej nierówności, bez indukcji). Jeśli będziesz miała problem, daj znać, to podam, co tam można sobie wpisać i wtedy indukcja zadziała.
-
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 12 mar 2021, o 12:54
- Płeć: Kobieta
- wiek: 18
- Podziękował: 21 razy
Re: Udowodnij indukcyjnie.
Okej zatem udowodnię, że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^{2}} < 1- \frac{1}{n} }\)
1) Krok bazowy:
dla \(\displaystyle{ n = 2}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}< \frac{1}{2} }\)
Prawda.
2) Pokażę, że jeżeli \(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^{2}} < 1- \frac{1}{n} }\) to \(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n+1} \frac{1}{k^{2}} < 1- \frac{1}{n+1} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n+1} \frac{1}{k^{2}} =\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^{2}}+ \frac{1}{(n+1)^{2}} }\)
Czyli wystarczy pokazać, że
\(\displaystyle{ 1- \frac{1}{n+1}- \frac{1}{(n+1)^{2}} \ge 1- \frac{1}{n} }\)
\(\displaystyle{ \frac{n^{2}+2n+1-n-1-1}{(n+1)^{2}} \ge \frac{n-1}{n} }\)
\(\displaystyle{ n(n^{2}+n-1) \ge (n-1)(n^{2}+2n+1)}\)
\(\displaystyle{ n^{3}+n^{2}-n \ge n^{3}+2n^{2}+n-n^{2}-2n-1}\)
\(\displaystyle{ 0 \ge -1}\)
To jest prawdziwe zatem tym bardziej prawdziwe jest zdanie:
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^{2}} < 1 }\)
Czy to jest okej?
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^{2}} < 1- \frac{1}{n} }\)
1) Krok bazowy:
dla \(\displaystyle{ n = 2}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}< \frac{1}{2} }\)
Prawda.
2) Pokażę, że jeżeli \(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^{2}} < 1- \frac{1}{n} }\) to \(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n+1} \frac{1}{k^{2}} < 1- \frac{1}{n+1} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n+1} \frac{1}{k^{2}} =\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^{2}}+ \frac{1}{(n+1)^{2}} }\)
Czyli wystarczy pokazać, że
\(\displaystyle{ 1- \frac{1}{n+1}- \frac{1}{(n+1)^{2}} \ge 1- \frac{1}{n} }\)
\(\displaystyle{ \frac{n^{2}+2n+1-n-1-1}{(n+1)^{2}} \ge \frac{n-1}{n} }\)
\(\displaystyle{ n(n^{2}+n-1) \ge (n-1)(n^{2}+2n+1)}\)
\(\displaystyle{ n^{3}+n^{2}-n \ge n^{3}+2n^{2}+n-n^{2}-2n-1}\)
\(\displaystyle{ 0 \ge -1}\)
To jest prawdziwe zatem tym bardziej prawdziwe jest zdanie:
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^{2}} < 1 }\)
Czy to jest okej?
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Udowodnij indukcyjnie.
Tak, dokładnie o to chodziło.
Jeśli chciałabyś mieć trochę mniej rachunków, to zobacz, że warunek, który sprawdzasz, czyli \(\displaystyle{ 1 - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{(n+1)^2} \ge 1 - \frac{1}{n}}\) jest równoważny takiemu (te jedynki aż prosi się skrócić)
\(\displaystyle{ \frac{1}{(n+1)^2} \le \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)}}\),
co redukuje się do sprawdzenia \(\displaystyle{ (n+1)^2 \ge n(n+1)}\), a to jest oczywiste.
Jeśli chciałabyś mieć trochę mniej rachunków, to zobacz, że warunek, który sprawdzasz, czyli \(\displaystyle{ 1 - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{(n+1)^2} \ge 1 - \frac{1}{n}}\) jest równoważny takiemu (te jedynki aż prosi się skrócić)
\(\displaystyle{ \frac{1}{(n+1)^2} \le \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)}}\),
co redukuje się do sprawdzenia \(\displaystyle{ (n+1)^2 \ge n(n+1)}\), a to jest oczywiste.