Matematyka.pl

Hej, mam udowodnić indukcyjnie, że dla takiego wzoru rekurencyjnego:
\(\displaystyle{ a_{n} = 4a_{n-2} \\
a_{1} = 2}\)

wzór ogólny ciągu wynosi:
\(\displaystyle{ a_{n} = 2^{n}}\).

Prosiłbym, żeby ktoś potwierdził (lub poprawił) mój sposób myślenia:
Oczywiście po pokazaniu, że wzór faktycznie "działa" dla np. \(\displaystyle{ n = 1}\) i założeniu, że wzór jest prawdziwy dla \(\displaystyle{ n}\), chcę udowodnić, że:
\(\displaystyle{ a_{n+2} = 4a_{n} = 4 \cdot 2^{n} = 2^{n+2}}\) ,
co kończy dowód. Dobrze myślę?

Chyba brakuje założenia, że \(\displaystyle{ a_2=4}\), albo że \(\displaystyle{ a_0=1}\). Twój dowód rozwiązuje problem tylko dla nieparzystych n.

Problem polega na tym, że np. ciąg \(\displaystyle{ 2, 0, 8, 0, 32, 0, 128, 0...}\) spełnia założenia, a wcale nie zachodzi \(\displaystyle{ a_n=2^n}\)

\(\displaystyle{ a_{n} = 4a_{n-2}\\
a_{1} = 2}\)

To nie jest poprawnie określona rekurencja nie wiadomo czym jest \(\displaystyle{ a_2}\).

Oczywiście po pokazaniu, że wzór faktycznie "działa" dla np. \(\displaystyle{ n = 1}\)

Nie wiem czemu mówisz "na przykład \(\displaystyle{ n=1}\)" skoro chcesz pokazać że wzór działa to trzeba to zrobić dla wszystkich \(\displaystyle{ n}\) a żeby nie bawić się w ręczne sprawdzanie to trzeba zacząć od najmniejszego \(\displaystyle{ n}\) z dziedziny czyli dokładnie \(\displaystyle{ n=1}\). Poza tym t wym przypadku to będzie za mało i trzeba będzie sprawdzić jeszcze \(\displaystyle{ n=2}\) i odwołać się do dwóch ostatnich wyrazów zakładając prawdziwość wzory jawnego dla \(\displaystyle{ n}\) oraz \(\displaystyle{ n+1}\) i pokazać prawdziwość implikacji tego wzoru dla \(\displaystyle{ n+2}\) przy powyższych założeniach.

chcę udowodnić, że:
\(\displaystyle{ a_{n+2} = 4a_{n} = 4* 2^{n} = 2^{n+2}}\) ,
co kończy dowód. Dobrze myślę?

Tu nie wiem co się stało bo nie wiem czy tylko wyraziłeś chęć udowodnienia czy faktycznie coś pokazujesz.