Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{1} } + \frac{1}{ \sqrt{2} }+...+ \frac{1}{ \sqrt{n} } > \sqrt{n}. }\)
Dla \(\displaystyle{ n=1}\) mam równość.
Zakładam, że wzór zachodzi dla \(\displaystyle{ n=k,\\
\frac{1}{ \sqrt{1} } + \frac{1}{ \sqrt{2} }+...+ \frac{1}{ \sqrt{k} } > \sqrt{k}.}\)
Dowodzę, że wzór zachodzi dla \(\displaystyle{ n=k+1,\\
\frac{1}{ \sqrt{1} } + \frac{1}{ \sqrt{2} }+...+ \frac{1}{ \sqrt{k+1} } > \sqrt{k+1}.}\)
Wykorzystując, założenie otrzymuję:
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{1} } + \frac{1}{ \sqrt{2} }+...+ \frac{1}{ \sqrt{k} }+ \frac{1}{ \sqrt{k+1} } > \sqrt{k}+ \frac{1}{ \sqrt{k+1} }= \frac{ \sqrt{k} \sqrt{k+1} +1 }{ \sqrt{k+1} } . }\)
I teraz nie wiem co dalej. Jak pokazać, że:
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{k} \sqrt{k+1} +1 }{ \sqrt{k+1} } > \sqrt{k+1} }\)

Metodą przekształceń równoważnych: pomnóż obustronnie przez \(\displaystyle{ \sqrt{k+1}}\) by pozbyć się mianownika, potem odejmij jeden i podnieś do kwadratu.