Witam.
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+...+\frac{n}{2^n}=2-\frac{n+2}{2^n}}\)
Dla n=1: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}=2-\frac{3}{2}}\) czyli wszystko gra.
Założenie: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+...+\frac{n}{2^n}=2-\frac{n+2}{2^n}}\)
Teza: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+...+\frac{n}{2^n}+\frac{n+1}{2^{n+1}}=2-\frac{n+3}{2^{n+1}}}\)
Czyli: \(\displaystyle{ 2-\frac{n+2}{2^n}+\frac{n+1}{2^{n+1}}=2-\frac{(n+2)2^{n+1}+(n+1)2^n}{2^n*2^{n+1}}=2-\frac{2^n[(n+2)2+(n+1)]}{2^n*2^{n+1}}=2-\frac{2n+4+n+1}{2^{n+1}}=2-\frac{3n+5}{2^{n+1}}}\)
Czyli coś nie wyszło. Mógłby ktoś pomóc?
Udowodnić indukcyjnie.
-
jasny
- Użytkownik
- Posty: 845
- Rejestracja: 2 kwie 2006, o 23:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Limanowa
- Pomógł: 191 razy
Udowodnić indukcyjnie.
w dowodzie indukcyjnym pierwsze przekształcenie: źle wyciągnąłeś minus przed ułamek.
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11619
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3173 razy
- Pomógł: 754 razy
Udowodnić indukcyjnie.
Martyn 1 napisał:
Czyli:
Czyli: \(\displaystyle{ 2-\frac{n+2}{2^n}+\frac{n+1}{2^{n+1}}=2-\frac{(n+2)2^{n+1}-(n+1)2^n}{2^n*2^{n+1}}}\)
Czyli:
ma byc...\(\displaystyle{ 2-\frac{n+2}{2^n}+\frac{n+1}{2^{n+1}}=2-\frac{(n+2)2^{n+1}+(n+1)2^n}{2^n*2^{n+1}}=2-\frac{2^n[(n+2)2+(n+1)]}{2^n*2^{n+1}}=2-\frac{2n+4+n+1}{2^{n+1}}=2-\frac{3n+5}{2^{n+1}}}\)
Czyli: \(\displaystyle{ 2-\frac{n+2}{2^n}+\frac{n+1}{2^{n+1}}=2-\frac{(n+2)2^{n+1}-(n+1)2^n}{2^n*2^{n+1}}}\)