Matematyka.pl

Udowodnij indukcyjnie że:
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{n\in N} (3^{n+1}|2^{3^{n}}+1 i (3^{n+2}/|2^{3^{n}}+1}\)
znak /| zastępuje znak nie podzielności.
Zajołem się najpierw tylko pierwszą częścią
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{n\in N} (3^{n+1}|2^{3^{n}}+1}\)
1.Sprawdzenie n=0
\(\displaystyle{ 3^{1}|2^{3^{0}}+1}\)
\(\displaystyle{ 3|3}\) prawda
2.Założenie n=k
\(\displaystyle{ 3^{k+1}|2^{3^{k}}+1}\)
3.Teza n=k+1
\(\displaystyle{ 3^{k+1+1}|2^{3^{k+1}}+1}\)
Dowód
\(\displaystyle{ 3^{k+1}*3|2^{3^{k}*3}+1}\)
\(\displaystyle{ 3^{k+1}*3|3(\frac{2^{3^{k}*3}+1)}{3}}\)
\(\displaystyle{ 3^{k+1}|\frac{2^{3^{k}*3}+1}{3}}\)
załużmy że
\(\displaystyle{ 2^{x}=3}\)
\(\displaystyle{ 3^{k+1}|\frac{2^{3^{k}+3^{k}\frac{x}{3^{k}}+2*3^{k}-3^{k}\frac{x}{3^{k}}}+1}{3}}\)
\(\displaystyle{ 3^{k+1}|\frac{2^{3^{k}+x+2*3^{k}-x}+1}{3}}\)
\(\displaystyle{ 3^{k+1}|\frac{2^{3^{k}+x+2*3^{k}-x}}{3}+1-\frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ 3^{k+1}|\frac{2^{3^{k}+x}*(2^{2*3^{k}-x}+1-1)}{3}+1-\frac{2}{3}}\)

\(\displaystyle{ 3^{k+1}|\frac{2^{3^{k}+x}*(2^{2*3^{k}-x}-1)}{3}+1-\frac{2}{3}+2^{3^{k}}}\)
i wyjołem założenie, czyli pozostaje udowodnić,że:
\(\displaystyle{ 3^{k+1}|\frac{2^{3^{k}+x}*(2^{2*3^{k}-x}-1)}{3}-\frac{2}{3}}\)

\(\displaystyle{ 3^{k+1}|\frac{2^{3^{k+1}}-2^{3^{k}}*3}{3}-\frac{2}{3}}\)


W rezultacje po podstawieniu wyszło mi jak widać podobne lecz jeszcze trudniejsze równanie do udowodnienia. Próbując udowodnić je dochodzi się do jeszcze trudniejszego równania, w którego skład wchodzi strare równanie + drugie trochę inne ale podobne. I tak dalej w nieskączoność, będą oczywiście pojawiać się coraz trudniejsze równania.
Jak to rozwiązać?
Drugą część tego zadania rozwiązuje się pewnie podobnie, tylko ostateczne udowodnienie może być jeszcze trudniejsze.


Moje drugie pytanie brzmi:
Czy istnieją równania, które na koniec dowodu indukcyjnego prowadza do równania tożsamościowego? Jakie to równania? Co nalezy z nimi zrobić?

Co do udowodnienia podzielności:
\(\displaystyle{ 2^{3^n} + 1 = k 3^{n+1}}\) więc: \(\displaystyle{ 2^{3^n} = k 3^{n+1} - 1}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ 2^{3^{n+1}} + 1 = (2^{3^n})^3 + 1 = (k 3^{n+1} - 1)^3 + 1 = k^3 3^{3n+3} - 3 k^2 3^{2n+2} + 3 k 3^{n+1} = 3^{n+2} (k^3 3^{2n+1} - k^2 3^{n+1} + k)}\)
Więc jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3^{n+2}}\)

A co do udowodnienia niepodzielności, to udowodnij, że jakby zachodziła podzielnośc, dla n, to też zachodziłąby podzielnośc dla n+1, ale ponieważ dla n=0 lub n=1 podzielność nie zachodzi więc dla każdej n naturalnej też nie zachodzi.

brawo
obok tego twierdzeni pomocniczego powinieneś udowodnić że k należy do liczb całkowitych, albo że ten nawias nalezy do liczb całkowitych

Ale przecież tu nie ma co wiecej udowadniac, k jest całkowite z zał. indukcyjnego, a to co jest w nawiasie musi byc całkowite, bo suma liczb całkowitych daje l. całkowitą.

teraz widzę. Zrobiłeś w całkowicie nie znany mi sposób zadanie. Myślałem, że intujcyjnie rozbiłeś liczbę na iloraz dowolnej liczby dogodnej do dalszych obliczeń i k jako resztę by zachodziła równość.