Dla każdego \(\displaystyle{ n \ge 3}\) mamy \(\displaystyle{ n! > 2 ^{n-1}}\)
.I zrobiłem takie coś.
1. Czy dla \(\displaystyle{ n = 3}\) nierówność prawdziwa?
\(\displaystyle{ 6 = 3! > 2 ^{3-1} = 2^{2} = 4}\). TAK
2. Czy dla \(\displaystyle{ n + 1}\) nierówność prawdziwa?
\(\displaystyle{ (n+1)! > 2^{n+1-1}}\)
L = \(\displaystyle{ (n + 1)! = n! \cdot (n+1)}\)
P = \(\displaystyle{ 2 ^{n+1-1} = 2 ^{n} = 2 ^{n-1} \cdot 2}\)
Ponieważ z założenia \(\displaystyle{ n! > 2 ^{n-1}}\), więc \(\displaystyle{ L > P}\).
I tutaj pojawia się pytanie, na które nie umiem odpowiedzieć, aby bardziej szczegółowo uzasadnić również ostatnie zdanie. Po co? Najzwyczajniej w świecie po to, aby dowód był bardziej "elegancki", czyli po prostu wyczerpujący i nie można już było zadać ani jednego pytania do niego.
Czy prawdą jest, że \(\displaystyle{ n! \cdot (n+1) > 2 ^{n-1} \cdot 2}\)? Jeśli tak, to dlaczego? Myślałem, że ma to związek z monotonicznością silni i funkcji wykładniczej, ale obie są w tym przypadku rosnące, więc chyba nie bardzo.