Matematyka.pl

Udowodnij indukcyjnie, że .

I zrobiłem takie coś.
1. Czy dla \(\displaystyle{ n = 3}\) nierówność prawdziwa?
\(\displaystyle{ 6 = 3! > 2 ^{3-1} = 2^{2} = 4}\). TAK

2. Czy dla \(\displaystyle{ n + 1}\) nierówność prawdziwa?
\(\displaystyle{ (n+1)! > 2^{n+1-1}}\)
L = \(\displaystyle{ (n + 1)! = n! \cdot (n+1)}\)
P = \(\displaystyle{ 2 ^{n+1-1} = 2 ^{n} = 2 ^{n-1} \cdot 2}\)
Ponieważ z założenia \(\displaystyle{ n! > 2 ^{n-1}}\), więc \(\displaystyle{ L > P}\).

I tutaj pojawia się pytanie, na które nie umiem odpowiedzieć, aby bardziej szczegółowo uzasadnić również ostatnie zdanie. Po co? Najzwyczajniej w świecie po to, aby dowód był bardziej "elegancki", czyli po prostu wyczerpujący i nie można już było zadać ani jednego pytania do niego.
Czy prawdą jest, że \(\displaystyle{ n! \cdot (n+1) > 2 ^{n-1} \cdot 2}\)? Jeśli tak, to dlaczego? Myślałem, że ma to związek z monotonicznością silni i funkcji wykładniczej, ale obie są w tym przypadku rosnące, więc chyba nie bardzo.

Tomasz22 pisze: ↑16 lis 2022, o 20:08Po co? Najzwyczajniej w świecie po to, aby dowód był bardziej "elegancki", czyli po prostu wyczerpujący i nie można już było zadać ani jednego pytania do niego.

Przede wszystkim po to, że na razie to nie jest dowód (ja to nazywam "rozumowaniem jest dobrze, bo jest dobrze" - ponieważ założenie jest prawdziwe, więc teza też... ale nie wiadomo dlaczego ).

Ten dowód powinien wyglądać tak:

\(\displaystyle{ L=(n + 1)! = n! \cdot (n+1)>2^{n-1}\cdot (n+1)>2^{n-1}\cdot 2=2 ^{n+1-1}=P}\)

plus komentarz, że pierwsza nierówność to wynik zastosowania założenia indukcyjnego, a druga wynika z założenia \(\displaystyle{ n \ge 3}\) (bo wtedy tym bardziej \(\displaystyle{ n+1 >2}\)).

JK