Matematyka.pl

Witam, proszę o pomoc jak sie zabrać za to zadanie:

\(\displaystyle{ a \in N, n \in N}\)
Wykaż, że
\(\displaystyle{ n! \Bigg| \prod_{n=1}^{n} (a + i)}\)


Jak to udowodnić za pomocą indukcji matematycznej

W tym iloczynie po prawej masz \(\displaystyle{ n}\) kolejnych liczb naturalnych. Wśród takich liczb zawsze znajdziemy podzielną przez \(\displaystyle{ 1,2,\dots,n}\). Teza jest więc trywialna i nie wymaga dowodu indukcyjnego. Można by się pokusić, ale nie wiem po co. Czy masz nakazane dowodzenie tą metodą?

Jak zwrócił mi uwagę w prywatnej wiadomości Kolega a4karo, rozumowanie w tym duchu należy poprowadzić delikatniej.

Tak mam wykazać za pomoca indukcji.

Mam takie coś
Pokazuje ze dla n = 1 jest prawdziwe:
\(\displaystyle{ 1 | 2}\) bo 1 jest dzielnikiem liczby 2
Zakładam, że dla n równanie jest prawdziwe:
\(\displaystyle{ n! \Bigg| \prod_{i = 1}^{n} (a + i)}\)
I dla n+1 mam:
\(\displaystyle{ (n +1)! \Bigg| \prod_{i = 1}^{n + 1} (a + i)}\)
\(\displaystyle{ n!(n +1) \Bigg| \prod_{i = 1}^{n} (a + i) \cdot (a_{n} + i + 1)}\)
I jak się teraz dalej zabrać?

Może spróbuj tak: weź pierwsze \(\displaystyle{ n}\) liczb w tym iloczynie, to jest podzielne przez \(\displaystyle{ n!}\). Ale też iloczyn liczb począwszy od drugiej do ostatniej jest podzielny przez \(\displaystyle{ n!}\) na mocy założenia indukcyjnego.

Mam tak:
Jeśli
\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n} = n!}\) to
\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n}(a+i) = \frac{(2n)!}{n!}}\)
P(n): \(\displaystyle{ n! \Bigg| \frac{(2n)!}{n!} \Leftrightarrow \frac{(2n)!}{n!} \cdot \frac{1}{n!} = k, k \in \ZZ}\) Czy mogę taką teze wysunąć? i na jej podstawie dalej udowodnić dla n+1?
P(n+1): \(\displaystyle{ (n+1)! \Bigg| \frac{(2n + 2)!}{(n+1)!}}\)
\(\displaystyle{ n!(n+1) \Bigg| \frac{(2n)! (2n + 1)(2n + 2)}{n!(n+1)}}\)

Druga linia źle. Nie działa np. dla \(\displaystyle{ a=3}\) oraz \(\displaystyle{ n=4}\).

\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n}(a+i) = \frac{(2n)!}{n!}}\)

a to skąd?

teza dla \(\displaystyle{ n=1}\) nie brzmi \(\displaystyle{ 1|2}\) tylko zupełnie inaczej.

-- 29 paź 2015, o 21:02 --

Robienie tego zadania metodą indukcji podlega karze z ustawy o znęcaniu się nad zwierzętami.

\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n}(a+i) =\frac{\prod_{i=1}^{a} i\cdot\prod_{i=1}^{n}(a+i)}{\prod_{i=1}^{a}i}=\frac{(a+n)!}{a^!}=n!\frac{(a+n)!}{a!n!}=n!\binom{a+n}{n}}\)

Dziękuje już sobie poradziłem właśnie tego nie mogłem rozpisać Dziękuje bardzo