Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \Bigsum_{k=1}^{2n} (-1)^{k+1} k^3=1^3-2^3+3^3-4^3+...+(2n-1)^3-(2n)^3}\)

Dowód indukcyjny:
I. n=1
\(\displaystyle{ L=1^3-2^3=-7,\:\;P=-7=L}\)
II. \(\displaystyle{ l\in N_{+}}\)
Założenie indukcyjne: \(\displaystyle{ 1^3-2^3+3^3-4^3+...+(2l-1)^3-(2l)^3=-l^2(4l+3)}\)
Teza indukcyjna: \(\displaystyle{ 1^3-2^3+3^3-4^3+...+(2l-1)^3-(2l)^3+(2l+1)^3-(2l+2)^3=-(l+1)^2(4l+7)}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ L=1^3-2^3+3^3-4^3+...+(2l-1)^3-(2l)^3+(2l+1)^3-(2l+2)^3=\\= -l^2(4l+3)+(2l+1)^3-(2l+2)^3=-4l^3-3l^2+8l^3+12l^2+6l+1-8l^3-24l^2-24l-8=\\=-4l^3-15l^2-18l-7= -(l+1)(4l^2+11l+7)=-(l+1)^2(4l+7)=P}\)

Na mocy zasady indukcji matematycznej wzór jest prawdziwy dla każdego \(\displaystyle{ n\in N}\)

Tylko popraw to cztery do czwartej, bo kłuje po oczach ; )