Krótki (mam nadzieję) dowód indukcyjny
Krótki (mam nadzieję) dowód indukcyjny
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {2n+1 \choose k} = 4 ^{n}}\)
Ma ktoś pomysł jak to udowodnić?
Ma ktoś pomysł jak to udowodnić?
Krótki (mam nadzieję) dowód indukcyjny
Trochę inna prośba była w temacie, do którego link wstawiłeś.
Re: Krótki (mam nadzieję) dowód indukcyjny
Siódmy rząd to:
\(\displaystyle{ 1\ 6\ 15\ 20\ 15\ 6\ 1}\) , a w skład sumy wchodzi \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 15}\). Więc co dalej?
\(\displaystyle{ 1\ 6\ 15\ 20\ 15\ 6\ 1}\) , a w skład sumy wchodzi \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 15}\). Więc co dalej?
Ostatnio zmieniony 14 paź 2018, o 22:33 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Krótki (mam nadzieję) dowód indukcyjny
Taki szybki pomysł:
zauważmy, że \(\displaystyle{ {2n+1\choose k}={2n+1\choose 2n+1-k}}\)
dla \(\displaystyle{ k=0,1,\ldots n}\), a stąd
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {2n+1\choose k}= \sum_{k=0}^{n} {2n+1\choose 2n+1-k}}\)
czyli
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {2n+1\choose k}=\sum_{k=n+1}^{2n+1} {2n+1\choose k}}\)
Co natomiast powiesz o tej sumie:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {2n+1\choose k}+\sum_{k=n+1}^{2n+1} {2n+1\choose k}}\)
zauważmy, że \(\displaystyle{ {2n+1\choose k}={2n+1\choose 2n+1-k}}\)
dla \(\displaystyle{ k=0,1,\ldots n}\), a stąd
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {2n+1\choose k}= \sum_{k=0}^{n} {2n+1\choose 2n+1-k}}\)
czyli
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {2n+1\choose k}=\sum_{k=n+1}^{2n+1} {2n+1\choose k}}\)
Co natomiast powiesz o tej sumie:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {2n+1\choose k}+\sum_{k=n+1}^{2n+1} {2n+1\choose k}}\)
Krótki (mam nadzieję) dowód indukcyjny
@premislav: do tego co masz na końcu doszedłem innym sposobem i już podołałem jakoś całemu przykładowi. Tylko mam pytanie odnośnie prawej strony równania z trzeciej linii, gdzie to masz nad E 2n+1. Jak do tego doszedłeś? Jaka to właściwość, prawo?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Krótki (mam nadzieję) dowód indukcyjny
Zsumowałem po prostu stronami równości postaci
\(\displaystyle{ {2n+1\choose k}={2n+1\choose 2n+1-k}}\)
dla \(\displaystyle{ k=0,1,\ldots n}\).
Następnie odwróciłem porządek sumowania w tej sumie
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {2n+1\choose 2n+1-k}}\).
\(\displaystyle{ {2n+1\choose k}={2n+1\choose 2n+1-k}}\)
dla \(\displaystyle{ k=0,1,\ldots n}\).
Następnie odwróciłem porządek sumowania w tej sumie
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {2n+1\choose 2n+1-k}}\).