Matematyka.pl

Witam, mam mały problem z matematyką(a bardziej z wykladowca - zero jakiegokolwiek tlumaczenia ) więc postanowiłem tutaj napisać

Mam 3 zadania

1) Wykazać, że suma wszystkich współczynników w rozwinięciu dwumianu Newtona \(\displaystyle{ (a+b)^n}\) wynosi \(\displaystyle{ 2^n}\), tzn.

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}=2^n}\)

Sprawdzilem czy T(k) jest zdaniem prawdziwym, przyjmując założenie, że \(\displaystyle{ a=b=1}\)
\(\displaystyle{ T(1): (1+1)^n=2^n}\)
\(\displaystyle{ 2^n=2^n}\) , zdanie jest prawdziwe bo L=P i co dalej??

2) Udowodnić wzór \(\displaystyle{ 1+q+\ldots+q^{n-1}=\frac{1-q^2}{1-q}}\)

3) Udowodnić nierówność \(\displaystyle{ |\sum_{k=1}^{n}sinx_k| q \sum_{k=1}^{n}sinx_k}\) ,gdzie \(\displaystyle{ 0 q x_k q \pi}\)

Ad1)łatwiej bez indukcji:
\(\displaystyle{ 2^{n}=(1+1)^{n}={n\choose 0}+{n\choose 1}+{n\choose 2}+...+{n\choose n}}\)

Ad2.

Wymnóż stronami przez 1-q. I pogrupuj.

PS. Tam powinno być: \(\displaystyle{ \frac{1-q^n}{1-q}}\)

Ad3.

Z definicji wartości bezwzględnej ?

\(\displaystyle{ a\geq|a|\geq -a}\)

Ad2) Można indukcyjnie:
1° T(1):
\(\displaystyle{ L=q^{1-1}=q^{0}=1 \\ P=\frac{1-q}{1-q}=1 \\ L=P}\)

2° T(k)→T(k+1):
\(\displaystyle{ 1+q+...+q^{k-1}=\frac{1-q^{k}}{1-q} 1+q+...+q^{k-1}+q^{k}=\frac{1-q^{k+1}}{1-q}}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ L=1+q+...+q^{k-1}+q^{k}=\frac{1-q^{k}}{1-q}+q^{k}= \\ \frac{1-q^{k}+q^{k}-q^{k+1}}{1-q}=\frac{1-q^{k+1}}{1-q}=P}\)
co należało udowodnić.

A czy przypadkiem punkt 3) nie wygląda tak:
\(\displaystyle{ |\sin{\sum_{k=1}^n x_k} |\ \ {\sum_{k=1}^n}\,\sin x_k}\)


tzn.: J. Banaś, S.Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, rozdz.I, zad.42 ...