Matematyka.pl

Udowodnij stosując zasadę indukcji matematycznej, że każdy wyraz ciągu :
\(\displaystyle{ B_n=2^{n+5}\cdot 3^{4n}+5^{3n+1}}\)Jest podzielny przez 37

A gdzie zadanie dla ambitnych?

widzę że tex nei działa:/

TeX działa, ale J to nie to samo co ]

Oki. Poprawiłem, dziękuję!

Sprawdź sobie, że teza zachodzi dla \(\displaystyle{ n=0}\).

Załóżmy, że:

\(\displaystyle{ 2^{n+5}\cdot 3^{4n}+5^{3n+1}\equiv 0\pmod{37}}\)

Mnożąc obie strony tej kongruencji przez \(\displaystyle{ 2\cdot 3^4\cdot 5^3}\) dostajemy:

\(\displaystyle{ 5^3\cdot 2^{n+6}\cdot 3^{4(n+1)}+2\cdot 3^4\cdot 5^{3(n+1)+1}\equiv 0\pmod{37}}\), czyli

\(\displaystyle{ 125(2^{n+6}\cdot 3^{4(n+1)}+5^{3(n+1)+1})+37(2^{n+6}\cdot 4^{4(n+1)}+5^{3n+5})\equiv 0 od {37}}\), a skoro 37 nie dzieli 125, to \(\displaystyle{ 37|2^{n+6}\cdot 3^{4(n+1)}+5^{3(n+1)+1}}\), co na mocy indukcji kończy dowód.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

A tak indukcyjnie:
\(\displaystyle{ 2^{n+5+1}\cdot 3^{4(n+1)}+5^{3(n+1)+1}=162\cdot 2^{n+5}3^{4n}125\cdot 5^{3n+1} =(125+37)(2^{n+5}\cdot3^{4n}+5^{3n+1})-37\cdot 5^{3n+1}}\)teraz \(\displaystyle{ 2^{n+5}\cdot3^{4n}+5^{3n+1} = 37k}\) Podstaw do pierwszego i wychodzi

Przecież wyżej masz udowodnione indukcyjnie.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

Sorry, nie zauważyłem , no to jest jeszcze jeden sposób Szkoda, że w liceyum nie ma kongruencji - ułatwiają życie.