Matematyka.pl

Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{F_{2^k}}= 2+ \frac{F_{2^n-2}}{F_{2^n}} }\) oraz obliczyć \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{F_{2^k}} }\).

Lemat:
dla dowolnych \(\displaystyle{ m\in \NN}\) i dowolnych \(\displaystyle{ n\in \NN, \ n\ge 2}\) zachodzi równość
\(\displaystyle{ F_{m+n}=F_{m}F_{n-1}+F_{m+1}F_{n}}\).
Dowód lematu: indukcja po \(\displaystyle{ n\ge 2}\).
Dla \(\displaystyle{ n=2}\) dowodzona tożsamość przyjmuje po prostu formę
\(\displaystyle{ F_{m+2}=F_{m}+F_{m+1}}\), co jest oczywiste z uwagi na definicję ciągu Fibonacciego.
Przypuśćmy teraz, że dla pewnego \(\displaystyle{ n\in \NN, \ n\ge 2}\) i dla wszystkich \(\displaystyle{ m\in \NN}\) jest
\(\displaystyle{ F_{m+n}=F_{m}F_{n-1}+F_{m+1}F_n}\). Mamy wtedy
\(\displaystyle{ F_{m+n+1}=F_{m+1}F_{n-1}+F_{m+2}F_n\\=F_{m+1}F_{n-1}+(F_{m+1}+F_m)F_n\\=F_{m+1}F_{n+1}+F_{m}F_n}\).
To kończy krok indukcyjny i na mocy zasady indukcji matematycznej ple, ple, ple.

Przejdźmy teraz do rozwiązania zadania.
Z lematu mamy
\(\displaystyle{ F_{2^{n+1}}=F_{2^n+2^n}=F_{2^n}F_{2^{n}-1}+F_{2^{n}+1}F_{2^n}}\). Wykorzystamy to przy dowodzie równości
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{F_{2^k}}=2+\frac{F_{2^n-2}}{F_{2^n}}}\), który również przeprowadzimy przez indukcję.
Oczywiście dla \(\displaystyle{ n=1}\) jest to prawda, wystarczy sprawdzić, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{F_{1}}+\frac{1}{F_2}=2+\frac{F_0}{F_2}}\), natomiast w kroku indukcyjnym pomaga nam takie przekształcenie:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n+1}\frac{1}{F_{2^k}}=2+\frac{F_{2^n-2}}{F_{2^n}}+\frac{1}{F_{2^{n+1}}}\\=2+\frac{F_{2^n-2}\left( F_{2^{n}-1}+F_{2^n+1}\right)}{F_{2^{n+1}}} +\frac{1}{F_{2^{n+1}}}}\).
Pozostaje wykazać, że
\(\displaystyle{ F_{2^n-2}\left( F_{2^{n}-1}+F_{2^n+1}\right)+1=F_{2^{n+1}-2} }\).
W tym celu korzystamy ponownie z lematu:
\(\displaystyle{ F_{2^{n+1}-2}=F_{2^n+2^n-2}=F_{2^n-2}F_{2^n-1}+F_{2^n-1}F_{2^n}}\), zatem po redukcji wyrazów podobnych potrzebujemy udowodnić, że
\(\displaystyle{ F_{2^n-2}F_{2^{n}+1}+1=F_{2^{n}-1}F_{2^n} }\).
Równoważnie dostajemy
\(\displaystyle{ F_{2^n-2}F_{2^n}+F_{2^{n}-2}F_{2^n-1}+1=F_{2^n-1}F_{2^n}\\F_{2^n-2}F_{2^n}+1=F_{2^n-1}^2}\)
a to jest natychmiastową konsekwencją tożsamości Cassiniego dla \(\displaystyle{ k=2^n-1}\)
(jej najprostszy znany mi dowód to obliczenie wyznacznika \(\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc}1&1\\1&0\end{array}\right)^k}\)).


A granica to już formalność, jeśli ma się pierwszą część, ze wzoru Bineta \(\displaystyle{ F_{k}=\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^k-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^k}{\sqrt{5}}}\) i jedziemy.