Matematyka.pl

chce zapisać dowód przemienności dodawania używając klasycznego rachunku zdań i żeby nie trzeba było dopisywać jakiś słów na boku w stylu "jest to spełnione dla zera oraz gdy jest spełnione dla a to jest spełnione dla S(a)" na początku potrzeba udowodnić przemienność dodawania zera i zapisałem coś takiego chce się tylko zapytać czy jest to w 100% poprawne i każda przesłanka wynika z poprzednich przesłanek lub z aksjomatów

\(\displaystyle{ 1. \ a=0 \Rightarrow 0+a=a\\2. \ \forall b \in \mathbb{N} \ 0+b=b \Rightarrow 0+S(b)=S(0+b)=S(b) \\ 3. \ \mathbb{N'} = {c | c \in \mathbb{N} 0+c=c} \\ 4. \ 0 \in \mathbb{N'} \\ 5. \ d \in \mathbb{N'} \Rightarrow S(d) \in \mathbb{N'} \\ 6. \ \mathbb{N'} = \mathbb{N} \\ 7. \ \forall x \in \mathbb{N} 0+x=x }\)

1. Klasyczny rachunek zdań nie obejmuje kwantyfikatorów, więc nie da się udowodnić przemiennosci dodawania w PA odwołując się tylko do KRZ. Trzeba użyć klasycznego rachunku logicznego (z kwantyfikatorami).
2. Twój dowód nie jest "poprawny w 100%", gdyż
a) ma wady formalne w zapisie, np. definicja \(\displaystyle{ \mathbb{N}'}\) w punkcie 3 jest niepoprawna (brakuje nawiasów klamrowych). Widzę, że w zapisie latexowym nawiasy klamrowe są, jednak sa niepoprawnei zapisane i dlatego są niewidoczne po kompilacji. By nawias klamrowy był widoczny należy go poprzedzić ukośnikiem
\{ , \}.
W punkcie 2 w zapisie brakuje nawiasów określających zasięg kwantyfikatora.
b) W dowodzie mieszasz rzędy: Dowód nie jest elementarny (tzn. nie jest w logice I rzędu), a arytmetyka Peana zazwyczaj jest rozumiana jako teoria I rzędu, więc dowód powinien byc w logice I rzędu. Wyjaśnienie: logika I rzedu to logika, w której kwantyfikujemy tylko po zmiennych indywiduowych (tzn. w naszym przypadku po zmiennych przebiegających liczby naturalne). W logice II rzędu kwantyfikujemy również po zmiennych II rzędu, tzn. takich, które przebiegają zbiory indywiduów (tu podzbiory zbioru liczb naturalnych), i tak dalej (dla wyższych rzędów).
c) dowód nie ma ostatecznej konkluzji: \(\displaystyle{ \forall x\ 0+x=x+0}\),
d) brakuje odwołań do aksjomatów oraz wskazania, z których poprzednich zdań dowodu wynikają kolejne zdania dowodu (w dowodach formalnych tego typu jest to wymagane).

Widzę, że starałeś się napisać dowód w sposób "sformalizowany". Nie rozumiem, po co/dlaczego? Tego typu formalizm logiczny nie jest istotą matematyki. Normalni matematycy go nie używają. Stosują go czasami logicy (dla rozumowań metamatematycznych).
Pomimo formalnych wad Twojego dowodu jest on "ogólnie" poprawny. Gdybyś zapisał go zdaniami, słowami, nie byłby to dowód formalny (w sensie logicznym), ale za to byłby to poprawny dowód matematyczny.

Ciekawe co oznacza \(\displaystyle{ \NN'}\)

Rzeczywiście, dowód przemienności dodawania składa się z trzech części.
Przy definicji rekurencyjnej dodawania (\(\displaystyle{ +}\)) liczb naturalnych:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 0+m= m, \hbox{ dla dowolnej liczby naturalnej } m; \\ n'+m= \left( n+m\right)'; \hbox{ dla dowolnych liczb naturalnych } n \hbox{ i } m.\end{cases} }\)

Najpierw dowodzimy, że:

\(\displaystyle{ n+0= n}\), dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\).

Dowód ten jest indukcyjny:

Niewątpliwie:

\(\displaystyle{ 0+0=0;}\)

na mocy pierwszej części definicji dodawania zastosowanej do \(\displaystyle{ m:=0.}\)

Krok indukcyjny:

Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie dowolną liczbą naturalną taką, że: \(\displaystyle{ n+0=n.}\)

Wtedy:

\(\displaystyle{ n'+0= \left( n+0\right)'= n';}\)

gdzie pierwsza równość pochodzi z drugiej części definicji dodawania (zastosowanej do \(\displaystyle{ n}\) i do \(\displaystyle{ m:=0}\)), a druga równość pochodzi z założenia indukcyjnego;

krok indukcyjny został dowiedziony.

Twierdzenie o indukcji powoduje, że identyczność:

\(\displaystyle{ n+0=n,}\)

jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n.\square}\)

Następnie należy wykazać, że dla dowolnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ m}\), mamy:

\(\displaystyle{ k'+m=k+m'.}\)

Fakt ten dowodzimy przez indukcję, ze względu na zmienną \(\displaystyle{ k}\): Możemy zatem w końcu udowodnić przemienność dodawania:

Dla dowolnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ m}\), mamy:

\(\displaystyle{ k+m=m+k}\).

Dowód jest indukcyjny, przez indukcję ze względu na zmienną \(\displaystyle{ k.}\)

INDUKCYJNY DOWÓD TEGO FAKTU:

Jeśli \(\displaystyle{ k=0}\), to dla dowolnego \(\displaystyle{ m}\) naturalnego, mamy:

\(\displaystyle{ 0+m= m= m+0,}\)

gdzie druga równość pochodzi z pierwszego faktu udowodnionego przez nas ( a pierwsza równość pochodzi z definicji dodawania), co wobec dowolności wyboru liczby \(\displaystyle{ m \in \NN}\), dowodzi podstawy indukcji.

Krok indukcyjny:

Załóżmy, że nasza równość zachodzi dla pewnego \(\displaystyle{ k \in \NN}\) (i dla dowolnego \(\displaystyle{ m \in \NN}\)).
Pokażemy, że równość zachodzi dla \(\displaystyle{ k'}\) (i dla dowolnego \(\displaystyle{ m \in \NN}\)).

Niech zatem \(\displaystyle{ m \in \NN}\).

Wtedy:

\(\displaystyle{ k'+m= \left( k+m\right)'= \left( m+k\right)'=m'+k= m+k';}\)

gdzie pierwsza równość pochodzi z definicji dodawania, następna równość pochodzi z założenia indukcyjnego (i faktu, że następnik danej liczby jest jedyny), i na koniec używamy poprzednio udowodnionej własności;

co, wobec dowolności wyboru liczby \(\displaystyle{ m \in \NN,}\) dowodzi prawdziwości kroku indukcyjnego.

Twierdzenie o indukcji gwarantuje, że dodawanie w liczbach naturalnych jest przemienne.\(\displaystyle{ \square}\)

Jeśli jesteś zainteresowany dowodami takich 'oczywistych' faktów, to możesz zerknąć TUTAJ , gdzie znajdziesz parę takich dowodów, na przykład, na samym początku, jest dowód faktu, mówiącego, że jeśli suma dwóch liczb naturalnych jest równa zero, to obydwa jej składniki muszą być równe zero, polecam.

Jako ciekawostkę dodam, że jeśli nie chcemy korzystać z przemienności dodawania (bo jego dowód składa się z trzech części), to nie jest tak oczywiste, jak mogłoby nam się wydawać, że: \(\displaystyle{ n+1= n'}\), dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) (ja udowadniam ten fakt indukcyjnie).

Możesz zerknąć na ten link, znajdziesz tam parę dość dokładnych dowodów.