Matematyka.pl

Witam, mam problem z udowodnieniem następującej nierówności:
Udowodnij metodą indukcji matematycznej, że dla \(\displaystyle{ n\geq 8}\), zachodzi następująca nierówność:
\(\displaystyle{ 3n^2+4<2^n}\).

Sprawdzam dla n = 8 czy nierówność jest prawdziwa:
\(\displaystyle{ 3\cdot 64 + 4 = 196 < 258}\) - jest to oczywiście prawdziwe

Założenie indukcji: Prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ 3n^2 + 4 < 2^n}\)

Teza indukcji: Prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ 3(n+1)^2+4 < 2^{n+1}}\)

I w dowodzie mam właśnie największy problem - nie mam pomysłu jak przekształcać założenie by uzyskać tezę. Serdecznie proszę o pomoc.

Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia problem jest banalny...

...\(\displaystyle{ 3(n+1)^2 + 4 = 3n^2 + 6n + 3 + 4 = 3n^2 + 4 + 6n + 3 < (3n^2+4) + 3n^2 + 4.}\)

Bo \(\displaystyle{ 3n^2 > 6n}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 8}\) (nierówność kwadratowa). Dalej po prostych przekształceniach i zastosowaniu założenia indukcyjnego otrzymamy

\(\displaystyle{ (3n^2+4) + 3n^2 + 4 = 2 \cdot (3n^2+4) < 2 \cdot 2^n = 2^{n+1},}\)
co kończy dowód.

Dodano po 31 sekundach:

arek1357 pisze: ↑29 gru 2022, o 02:09 Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia problem jest banalny...

Dla mnie nie był.

Bardzo dziękuje za pomoc!