Witam, mam problem z udowodnieniem następującej nierówności:
Udowodnij metodą indukcji matematycznej, że dla \(\displaystyle{ n\geq 8}\), zachodzi następująca nierówność:
\(\displaystyle{ 3n^2+4<2^n}\).
Sprawdzam dla n = 8 czy nierówność jest prawdziwa:
\(\displaystyle{ 3\cdot 64 + 4 = 196 < 258}\) - jest to oczywiście prawdziwe
Założenie indukcji: Prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ 3n^2 + 4 < 2^n}\)
Teza indukcji: Prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ 3(n+1)^2+4 < 2^{n+1}}\)
I w dowodzie mam właśnie największy problem - nie mam pomysłu jak przekształcać założenie by uzyskać tezę. Serdecznie proszę o pomoc.
Dowód nierówności indukcją matematyczną
-
- Użytkownik
- Posty: 80
- Rejestracja: 13 lis 2022, o 14:12
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 26
- Podziękował: 31 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Dowód nierówności indukcją matematyczną
...\(\displaystyle{ 3(n+1)^2 + 4 = 3n^2 + 6n + 3 + 4 = 3n^2 + 4 + 6n + 3 < (3n^2+4) + 3n^2 + 4.}\)
Bo \(\displaystyle{ 3n^2 > 6n}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 8}\) (nierówność kwadratowa). Dalej po prostych przekształceniach i zastosowaniu założenia indukcyjnego otrzymamy
\(\displaystyle{ (3n^2+4) + 3n^2 + 4 = 2 \cdot (3n^2+4) < 2 \cdot 2^n = 2^{n+1},}\)
co kończy dowód.
Dodano po 31 sekundach:
Bo \(\displaystyle{ 3n^2 > 6n}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 8}\) (nierówność kwadratowa). Dalej po prostych przekształceniach i zastosowaniu założenia indukcyjnego otrzymamy
\(\displaystyle{ (3n^2+4) + 3n^2 + 4 = 2 \cdot (3n^2+4) < 2 \cdot 2^n = 2^{n+1},}\)
co kończy dowód.
Dodano po 31 sekundach:
Dla mnie nie był.