Matematyka.pl

Udowodnić, że
\(\displaystyle{ \sin\alpha+\sin2\alpha+...+\sin n\alpha=\frac{\cos\frac{1}{2}\alpha-\cos(n+\frac{1}{2})\alpha}{2\sin(\frac{1}{2}\alpha)}}\)
proszę o pomoc

A dokładniej, gdzie pojawia się problem?

Gubię się przy użyciu wzoru na różnicę cosinusów i nie jestem w stanie doprowadzić do dowodu.

Co prawda dalej nie wiem jak mogę Ci pomóc bo nie pokazałeś swojego rozwiązania. Jako wskazówkę mogę jedynie dać, że krok indukcyjny bazuje na sprawdzeniu, że
czyli po uproszczeniu, że
Słusznie warto teraz zastosować wzór na różnicę kosinusów. To jednak polega na wstawieniu do wzoru więc jeśli się gubisz to możesz: 1) przedstawić rachunki na forum, 2) zrobić rachunki powoli i uważnie.

\(\displaystyle{ \sin\alpha+\sin2\alpha+...+\sin n\alpha=\frac{\cos\frac{1}{2}\alpha-\cos(n+\frac{1}{2})\alpha}{2\sin(\frac{1}{2}\alpha)}}\)
\(\displaystyle{ \sin\alpha+\sin2\alpha+...+\sin k\alpha+\sin (k+1)\alpha=\frac{\cos\frac{1}{2}\alpha-\cos(k+\frac{3}{2})\alpha}{2\sin(\frac{1}{2}\alpha)}}\)

\(\displaystyle{ \sin\alpha+\sin2\alpha+...+\sin k\alpha+\sin (k+1)\alpha=\frac{\cos\frac{1}{2}\alpha - \cos(k + \frac{1}{2})\alpha} {2\sin(\frac{1}{2}\alpha)}+\sin (k+1)=\sin\alpha+\sin2\alpha+...+\sin k\alpha+\sin (k+1)\alpha=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{-2\sin(\frac{\frac{1}{2}\alpha-(k + \frac{1}{2})\alpha}{2})\sin(\frac{\frac{1}{2}\alpha+(k + \frac{1}{2})\alpha}{2})} {2\sin(\frac{1}{2}\alpha)}+\sin (k+1)\alpha=\frac{-\sin(\frac{-k\alpha}{2})\sin(\frac{3}{2}\alpha+k\alpha)+\sin (k\alpha+\alpha)\sin(\frac{1}{2}\alpha)} {\sin(\frac{1}{2}\alpha)}}\)
i tu nie wiem co zrobić dalej

Zacznijmy od tego, czego nie robić.

kuziem pisze: ↑23 lip 2022, o 14:19 \(\displaystyle{ \ldots=\frac{\cos\frac{1}{2}\alpha - \cos(k + \frac{1}{2})\alpha} {2\sin(\frac{1}{2}\alpha)}+\sin (k+1)=\ldots}\)

Wyrażenie \(\cos\left(\frac{1}{2}\alpha\right)\) w liczniku ułamka jest już w takiej postaci, jak ma wyjść w tezie indukcyjnej (poza tym że moim zdaniem argument kosinusa powinien być w nawiasie). Jest też podzielone przez odpowiedni mianownik. Zatem tego już nie trzeba ruszać, tylko zająć się pozostałymi składnikami.