Udowodnić, że
\(\displaystyle{ \sin\alpha+\sin2\alpha+...+\sin n\alpha=\frac{\cos\frac{1}{2}\alpha-\cos(n+\frac{1}{2})\alpha}{2\sin(\frac{1}{2}\alpha)}}\)
proszę o pomoc
Dowód indukcyjny
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4076
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Dowód indukcyjny
Gubię się przy użyciu wzoru na różnicę cosinusów i nie jestem w stanie doprowadzić do dowodu.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4076
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Dowód indukcyjny
Co prawda dalej nie wiem jak mogę Ci pomóc bo nie pokazałeś swojego rozwiązania. Jako wskazówkę mogę jedynie dać, że krok indukcyjny bazuje na sprawdzeniu, że
\(\displaystyle{ \frac{\cos\frac{1}{2}\alpha-\cos(n+\frac{1}{2})\alpha}{2\sin(\frac{1}{2}\alpha)}+\sin (n+1)\alpha=\frac{\cos\frac{1}{2}\alpha-\cos(n+1+\frac{1}{2})\alpha}{2\sin(\frac{1}{2}\alpha)}}\)
czyli po uproszczeniu, że \(\displaystyle{ \sin (n+1) \alpha = \frac{\cos(n+\frac{1}{2})\alpha-\cos(n+1+\frac{1}{2})\alpha }{2\sin \frac{ \alpha }{2} }. }\)
Słusznie warto teraz zastosować wzór na różnicę kosinusów. To jednak polega na wstawieniu do wzoru więc jeśli się gubisz to możesz: 1) przedstawić rachunki na forum, 2) zrobić rachunki powoli i uważnie.Re: Dowód indukcyjny
\(\displaystyle{ \sin\alpha+\sin2\alpha+...+\sin n\alpha=\frac{\cos\frac{1}{2}\alpha-\cos(n+\frac{1}{2})\alpha}{2\sin(\frac{1}{2}\alpha)}}\)
\(\displaystyle{ \sin\alpha+\sin2\alpha+...+\sin k\alpha+\sin (k+1)\alpha=\frac{\cos\frac{1}{2}\alpha-\cos(k+\frac{3}{2})\alpha}{2\sin(\frac{1}{2}\alpha)}}\)
\(\displaystyle{ \sin\alpha+\sin2\alpha+...+\sin k\alpha+\sin (k+1)\alpha=\frac{\cos\frac{1}{2}\alpha - \cos(k + \frac{1}{2})\alpha} {2\sin(\frac{1}{2}\alpha)}+\sin (k+1)=\sin\alpha+\sin2\alpha+...+\sin k\alpha+\sin (k+1)\alpha=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{-2\sin(\frac{\frac{1}{2}\alpha-(k + \frac{1}{2})\alpha}{2})\sin(\frac{\frac{1}{2}\alpha+(k + \frac{1}{2})\alpha}{2})} {2\sin(\frac{1}{2}\alpha)}+\sin (k+1)\alpha=\frac{-\sin(\frac{-k\alpha}{2})\sin(\frac{3}{2}\alpha+k\alpha)+\sin (k\alpha+\alpha)\sin(\frac{1}{2}\alpha)} {\sin(\frac{1}{2}\alpha)}}\)
i tu nie wiem co zrobić dalej
\(\displaystyle{ \sin\alpha+\sin2\alpha+...+\sin k\alpha+\sin (k+1)\alpha=\frac{\cos\frac{1}{2}\alpha-\cos(k+\frac{3}{2})\alpha}{2\sin(\frac{1}{2}\alpha)}}\)
\(\displaystyle{ \sin\alpha+\sin2\alpha+...+\sin k\alpha+\sin (k+1)\alpha=\frac{\cos\frac{1}{2}\alpha - \cos(k + \frac{1}{2})\alpha} {2\sin(\frac{1}{2}\alpha)}+\sin (k+1)=\sin\alpha+\sin2\alpha+...+\sin k\alpha+\sin (k+1)\alpha=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{-2\sin(\frac{\frac{1}{2}\alpha-(k + \frac{1}{2})\alpha}{2})\sin(\frac{\frac{1}{2}\alpha+(k + \frac{1}{2})\alpha}{2})} {2\sin(\frac{1}{2}\alpha)}+\sin (k+1)\alpha=\frac{-\sin(\frac{-k\alpha}{2})\sin(\frac{3}{2}\alpha+k\alpha)+\sin (k\alpha+\alpha)\sin(\frac{1}{2}\alpha)} {\sin(\frac{1}{2}\alpha)}}\)
i tu nie wiem co zrobić dalej
-
- Użytkownik
- Posty: 287
- Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 40
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 41 razy
Re: Dowód indukcyjny
Zacznijmy od tego, czego nie robić.
Wyrażenie \(\cos\left(\frac{1}{2}\alpha\right)\) w liczniku ułamka jest już w takiej postaci, jak ma wyjść w tezie indukcyjnej (poza tym że moim zdaniem argument kosinusa powinien być w nawiasie). Jest też podzielone przez odpowiedni mianownik. Zatem tego już nie trzeba ruszać, tylko zająć się pozostałymi składnikami.